第一章 培优增分1 对称及其应用问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优增分1 对称及其应用问题 　 §1　直线与直线的方程 第 一 章 类型一　对称问题 对称问题主要有以下几类：(1)点关于点的对称问题；(2)点关于线的对称问题；(3)线关于点的对称问题；(4)线关于线的对称问题． 角度1　中心对称问题 (1)(2023·四川遂宁高二期中)若点A(4，0)与点B关于点(2，1)对称，则点B的坐标为 A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 典例1 √ (2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程． 法一：设直线l上任一点为M(x，y)，则此点关于点P(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且点M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二：在直线3x－y－4＝0上任取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点P(2，－1)的对称点为B1(3，－1)，由两点式方程，可得直线l的方程为3x－y－10＝0. 　　 1．点关于点对称 点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)．特别地，点M(a，b)关于原点的对称点是(－a，－b)． 2．直线关于点对称 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A(－x)＋B(－y)＋C＝0. 方法技巧 即时练1.(2023·湖南衡阳市调研)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝ A．－5 B．14 C．－14 D．5 √ 即时练2.(2023·重庆巴南中学高二期中)将一张坐标纸折叠一次，使点(2，0)与(－6，8)重合，则折痕所在直线方程是 A．x－y－6＝0 B．x＋y＋6＝0 C．x＋y－6＝0 D．x－y＋6＝0 √ 角度2　轴对称问题 (1)已知直线l：y＝3x＋3，则点P(4，5)关于l的对称点的坐标为________． 索引 典例2 (－2，7) (2)求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程． 　　 1．点关于直线对称 点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称的对称点(x2，y2)可由 常见的点关于直线的对称点： (1)点P(x0，y0)关于x轴的对称点P′(x0，－y0)； (2)点P(x0，y0)关于y轴的对称点P′(－x0，y0)； (3)点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点P′(y0，x0)； (4)点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点P′(－y0，－x0)． 方法技巧 　　 2．直线关于直线对称 若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程；若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．常见的直线的关于直线对称有以下几种情况： 设直线l为Ax＋By＋C＝0， (1)l关于x轴对称的直线的方程是Ax＋B(－y)＋C＝0； (2)l关于y轴对称的直线的方程是A(－x)＋By＋C＝0； (3)l关于直线y＝x对称的直线的方程是Bx＋Ay＋C＝0； (4)l关于直线y＝－x对称的直线的方程是A(－y)＋B(－x)＋C＝0.　　 方法技巧 即时练3.已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； 设直线l1上任一点的坐标为(x，y)，则(x，y)关于点A(2，－3)的对称点的坐标为(4－x，－6－y)，而点(4－x，－6－y)在直线l上，所以(4－x)－(－6－y)＋1＝0，化简可得对称直线l1的方程为x－y－11＝0. (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程． 法二：设直线l2上任一点的坐标为(x′，y′)，则点(x′，y′)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点的坐标为(y′－1，x′＋1)，因为它在直线2x－y－3＝0上，所以2(y′－1)－(x′＋1)－3＝0，即x′－2y′＋6＝0.所以直线l2的方程为x－2y＋6＝0. 类型二　有关对称的应用 角度1　利用对称解决有关最值问题 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得： (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离