第一章 2.3 直线与圆的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.3　直线与圆的位置关系 　 第 一 章 §2　圆与圆的方程 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．　 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 学习目标 课 时 精 练 随 堂 演 练 综 合 应 用 知识点　直线与圆的位置关系 内 容 索 引 知识点　直线与圆的位置关系 索引 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 问题导思 1．图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？ 提示：①相离，②相切，③相交．直线与圆的位置关系有3种，分别是相交、相切、相离． 2．如何判断直线与圆的位置关系？ 提示：可利用由圆心到直线的距离与半径的大小来判断，也可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来判断． 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 新知形成 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ (1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系．(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离．(3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，较繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法． 微提醒 已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系． 法一：(代数法)由方程组 消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0. 因为Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0， 所以该方程组有两组不同的实数解， 即直线l与圆C相交． 例1-1 (链接教材P33例6)已知圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k分别为何值时，直线与圆的位置关系满足下列条件： ①相交；②相切；③相离． 例1-2 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可同时求出交点坐标．解题时可根据条件作出恰当的选择． 方法技巧 即时练1.已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是 A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝ ，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交． √ 即时练2.(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是______． A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为 A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上， 圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，依题意圆心到直线l的距离为： (链接教材P33例7)已知直线l过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相 切，求直线l的方程． 例2 因为(4－2)2＋52＝29＞4， 所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外． ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0， 所以直线方程l：21x－20y＋16＝0. ②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4.满足题意．综上可知，满足题意的直线l的方程为21x－20y＋16＝0或x＝4. 1．(变条件)若将例2中的点P的坐标改为(3， )，其他条件不变，又如何求其切线方程？ 变式探究 2．(变条件，变设问)由直线x＋y＝10上的一点向圆(x－2)2＋y2＝4引切线，则切线长的最小值为________． 求过某一点的圆的切线方程 1．点(x0，y0)在圆上： (1)先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由点斜式可得切线方程． (2)如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 方法技巧 2．点(x0，y0)在圆外： (1)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就是切线方程． (2)当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包