3.1 不等式的基本性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

3．1　不等式的基本性质 ► 对应学生用书P34 [课程标准]　1.梳理等式的性质．　2.理解不等式的概念．　3.掌握不等式的性质． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、不等关系与不等式 1．不等式指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子． 2．实数大小比较的依据 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b． 二、等式的性质 性质 名称 内容 性质1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 性质2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 性质3 同加(减)性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 性质5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ 记一记：(1)运用性质3时要注意加上(或减去)的必须是同一个数或代数式． (2)性质5中一定要注意两边不能同时除以0，因为0不能做除数． 三、不等式的性质 性质1：若a>b，则b<a；(自反性)a>b⇔b<a． 性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性) 性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性) 性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)若a>b，c<0，则ac<bc；(乘负改号性) 性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性) 性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性) 【基点小试】 1．已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则(　　) A．t>s B．t≥s C．t≤s D．t<s 解析：选C.t－s＝－(a2＋2b＋1)＝－≤0，故t≤s，当a＝1时，t＝s. 2．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　　) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a2＝6a，那么a＝6 C．如果a＝b，那么＝ D．如果＝，那么a＝b 解析：选D.选项A，当c≠0时，显然不成立； 选项B，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，显然不成立； 选项C，当c＝0时，＝无意义，不成立； 选项D，如果＝，则c≠0，故×c＝×c，即a＝b，成立． 3．已知3x＝7y，则下列比例式成立的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析：选B.因为3x＝7y，则x≠0，则＝，＝，故B选项正确，ACD选项错误． 4．下列结论正确的是(　　) A．若<，则a<b B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac>bc，则a>b 解析：选A.<，显然a，b均大于等于0，两边平方得：a<b，A正确； 当a＝－1，b＝0时，满足a2>b2，但a<b，B错误； 若a>b，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，C错误； 若ac>bc，c<0，则a<b，D错误. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　数式的大小比较 例1.(1)已知b<a<0，比较与的大小． 解：b<a<0，ab>0，b－a<0，－＝<0，<. (2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小． 解：因为a≥1，所以M＝－>0， N＝－>0. 所以＝＝. 因为＋>＋>0， 所以<1，所以M<N. [总结] 　1.利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． 2．作商法比较大小 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法如下： 前提 a>0，b>0 a<0，b<0， 依据 >1⇔a>b；＝1⇔a＝b；<1⇔a<b >1⇔a<b；＝1⇔a＝b；<1⇔a>b 应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论 【练一练】 1．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 解析：选B.∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0， ∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N. 2．已知|a|＜1，则与1－a的大小关系为________________. 解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1. ∴1＋a＞0，1－a＞0.即＝ ∵0＜1－a2≤1，∴≥1， ∴≥1－a. 答案：≥1－a 题型二　不等式的性质及其应用 角度1　判断正误 例2.(多选)下列命题中，为真命题的