(讲义)3.1 不等式的基本性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

3.1　不等式的基本性质 1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点) 2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点) 3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点) 1．通过大小比较，培养逻辑推理素养． 2．通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养． 3．借助不等式求实际问题，提升数学运算素养． 和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？ 知识点1　不等式 (1)不等式的定义 用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式． (2)关于a≥b和a≤b的含义 ①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确． ②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确． (3)不等式中常用符号语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 > < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ (4)两个实数的大小比较 ①如果a－b是正数，那么a>b； 即a－b>0⇔a>b； ②如果a－b等于0，那么a＝b； 即a－b＝0⇔a＝b； ③如果a－b是负数，那么a<b； 即 a－b<0⇔a<b． 任意两个实数都能比较大小吗？ [提示]　能．利用作差法比较． 1．设a＝2x2，b＝x2－x－1，则a与b的大小关系为________． a>b　[a－b＝2x2－(x2－x－1)＝x2＋x＋1＝＋>0，∴a>b．] 知识点2　不等式的基本性质 性质1：若a>b，则b<a；(自反性) 性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性) 性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性) 性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性) 若a>b，c<0，则ac<bc；(乘负改号性) 性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性) 性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性) 性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展) 不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础． (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． (2)要注意每条性质是否具有可逆性． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若ac>bc，则a>b． (　　) (2)若a＋c >b＋d，则a>b，c>d． (　　) (3)若a>b，则<． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 类型1　利用不等式的性质判断和解不等式 【例1】　(1)对于实数a，b，c，给出下列命题： ①若a>b，则ac2>bc2； ②若a<b<0，则a2>ab>b2； ③若a>b，则a2>b2； ④若a<b<0，则>． 其中正确命题的序号是________． (2)求解关于x的不等式ax＋1>0(a∈R)，并用不等式的性质说明理由． (1)②④　[对于①，∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确； 对于②，a<b<0⇒a2>ab；a<b<0⇒ab>b2， ∴②正确； 对于③，若0>a>b，则a2<b2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确； 对于④，∵a<b<0，∴－a>－b>0， ∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2． 又∵ab>0，∴>0，∴a2·>b2·，∴>，④正确． 所以正确答案的序号是②④．] (2)[解]　不等式ax＋1>0(a∈R)两边同时加上－1得ax>－1　(不等式性质3)， 当a＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x∈R， 当a>0时，不等式两边同时除以a得 x>－　(不等式性质4)， 当a<0时，不等式两边同时除以a得 x<－　(不等式性质4)． 综上：当a＝0时，不等式的解集为R，当a>0时，不等式的解集为，当a<0时，不等式的解集为． 1．判断不等式正误的2种方法 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集． 1．已知a＜b＜c