(讲义)3.1 不等式的基本性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

3.1　不等式的基本性质

知识点1　不等式

(1)不等式的定义

用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这

些不等号的式子叫作不等式．

(2)关于a≥b和a≤b的含义

①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．

②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．

(3)不等式中常用符号语言

(4)两个实数的大小比较

①如果a－b是正数，那么a>b；

即a－b>0⇔a>b；

②如果a－b等于0，那么a＝b；

即a－b＝0⇔a＝b；

③如果a－b是负数，那么a<b；

即 a－b<0⇔a<b．

任意两个实数都能比较大小吗？

[提示]　能．利用作差法比较．

1．设a＝2x2，b＝x2－x－1，则a与b的大小关系为________．

a>b　[a－b＝2x2－(x2－x－1)＝x2＋x＋1＝＋>0，∴a>b．]

知识点2　不等式的基本性质

性质1：若a>b，则b<a；(自反性)

性质2：若a>b，b>c，则a>c；(传递性)

性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)

性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)

若a>b，c<0，则ac<bc；(乘负改号性)

性质5：若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；(同向可加性)

性质6：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；(全正可乘性)

性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展)

不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．

(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．

(2)要注意每条性质是否具有可逆性．

2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若ac>bc，则a>b． (　　)

(2)若a＋c >b＋d，则a>b，c>d． (　　)

(3)若a>b，则<． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

类型1　利用不等式的性质判断和解不等式

【例1】　(1)对于实数a，b，c，给出下列命题：

①若a>b，则ac2>bc2；

②若a<b<0，则a2>ab>b2；

③若a>b，则a2>b2；

④若a<b<0，则>．

其中正确命题的序号是________．

(2)求解关于x的不等式ax＋1>0(a∈R)，并用不等式的性质说明理由．

(1)②④　[对于①，∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确；

对于②，a<b<0⇒a2>ab；a<b<0⇒ab>b2，

∴②正确；

对于③，若0>a>b，则a2<b2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；

对于④，∵a<b<0，∴－a>－b>0，

∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2．