第6章 章末总结 (六)幂函数、指数函数和对数函数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

章末总结　(六)幂函数、指数函数和对数函数 ► 对应学生用书P121 　高频考点聚焦 考点一　指数函数、对数函数的图象问题 1．函数y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0，1)点，后者恒过(1，0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图象． 2．函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化，提高直观想象的学科素养． 例1.(1)若函数y＝ax＋m－1(a>0，a≠1)的图象在第一、三、四象限内，则(　　) A．a>1 B．a>1，且m<0 C．0<a<1，且m>0 D．0<a<1 解析：选B.因为函数y＝ax的图象在第一、二象限内，所以欲使其图象在第三、四象限内，必须将y＝ax向下移动， 因为当0<a<1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限， 所以只有当a>1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1， 因为图象向下移动小于一个单位时，图象经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限， 所以欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，m<0. (2)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) 解析：选B.由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符．故选B. 【练一练】 1．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 解析：选B.作出函数y＝＝的图象，如图所示，将y＝的图象向左平移1个单位得到f(x)＝的图象． 2．对a>0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________． 解析：当x＝－1时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1，－1). 答案：(－1，－1) 考点二　指数函数、对数函数的性质 以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围． 例2.已知函数f(x)＝|x|＋－1(x≠0). (1)若对任意的正实数x，不等式f(x)>0恒成立，求m的取值范围； (2)试讨论函数f(x)零点的个数． 【思维点拨】　(1)分离参数，将问题转化为求函数最值问题，进而得到答案； (2)分离参数，作出函数的图象，通过数形结合求得答案． 解：(1)当x>0时，f(x)＝x＋－1，不等式f(x)>0恒成立等价于x＋－1>0恒成立，则m>－x2＋x(x>0)恒成立，而－x2＋x＝－＋(x>0)，当x＝时，有最大值，所以m>. (2)令f(x)＝|x|＋－1＝0，得m＝ 在同一坐标系中作出函数y＝与函数y＝m的图象(如图，仅作出－<m<时的情况). 结合图象可知， ①m>或m<－时，有一个零点； ②m＝±或m＝0时，有两个零点； ③－<m<且m≠0时，有三个零点． 【练一练】 3．已知函数y＝logax过定点(m，n)，函数f(x)＝＋n的定义域为[－1，1]. (1)求定点(m，n)并证明函数f(x)的奇偶性； (2)判断并证明函数f(x)在[－1，1]上的单调性； (3)解不等式f(2x－1)＋f(x)<0. 解：(1)∵函数y＝logax过定点(m，n)， ∴定点为(1，0)， ∴f(x)＝，定义域为[－1，1]， ∴f(－x)＝＝－f(x). ∴函数f(x)为奇函数． (2)f(x)在[－1，1]上单调递增． 证明：任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. ∵x1，x2∈[－1，1]，x1<x2， ∴x1－x2<0，1－x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数． (3)f(2x－1)＋f(x)<0，即f(2x－1)<－f(x)， ∵函数f(x)为奇函数， ∴f(2x－1)<f(－x)， ∵f(x)在[－1，1]上为单调递增函数， ∴∴ 解得0≤x<. 故不等式的解集为. 　阶段过关检测(六) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　) A．－1或2 B．