7.1.2 弧度制-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

7．1.2　弧度制 ► 对应学生用书P127 [课程标准]　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．　2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．　3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、角度制与弧度制 1．角度制：用度作为单位来度量角的单位制； 1度的角等于周角的. 2．弧度制：以弧度作为单位来度量角的单位制； 1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 二、弧度数和角度制的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈ 0．017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 [温馨提示]　(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． 三、 弧度数公式、弧长公式和扇形面积公式 1．弧度数公式为：|α|＝. 2．设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 记一记：(1)在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”，且α为实数． (2)在弧度制下的扇形面积公式S＝lR，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　) (3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　　) 　答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列转化结果错误的是(　　) A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－600° C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15° 解析：选C.对于A，60°＝60×＝； 对于B，－＝－×180°＝－600°； 对于C，－150°＝－150×＝－π； 对于D，＝×180°＝15°.故C项错误． 3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是____． 答案：π 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　角度制与弧度制的互化 例1.把下列弧度化为角度． (1)＝________． (2)－＝________． 解析：(1)＝°＝690°. (2)－＝－°＝－390°. 答案：(1)690°　(2)－390° 例2.把下列角度化为弧度． (1)－1 500°＝________． (2)67°30′＝________． 解析：(1)－1 500°＝－1 500×＝－π. (2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝. 答案：(1)－　(2) [总结] 　角度制与弧度制的互化原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n· rad. 【练一练】 1．将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝＝15 330°. (2)－＝－＝－105°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. 题型二　用弧度制表示终边相同的角 例3.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图). 解：(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z). ∴阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}． (2)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2， 则M1＝， M2＝. ∴阴影部分所表示的集合为M1∪M2＝{α|2kπ＜α＜＋2kπ，或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}． [总结] 　1.用弧度表示与α终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)的注意点 (1)2kπ是2π(一周角的大小)的整数倍，而不是π的整数倍； (2)角度制与弧度制不能混用，如60°＋2kπ(k∈Z)是错误的． 2．象限角的表示 例如：第一象限角的集合为{α|2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z}． 3．轴线角的表示 例如：终边在坐标轴上的角的集合为. 【练一练】 2．(1)用弧度制表示与角300°的终边相同