6.3 第三课时 对数函数的图象和性质(二)-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

第三课时　对数函数的图象和性质(二)　 ► 对应学生用书P117 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　函数性质的应用 角度1　比较大小 例1.(1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log89，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a 解析：选C.b＝log46＝log2，又c＝log89＝log2，因为3>>，y＝log2x单调递增，所以c<b<a.故选C. (2)(2022·四川广安高一期末)设a＝log32，b＝log2，c＝log56，则(　　) A．a<c<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c 解析：选C.a＝log32<log33＝1，a＝log32>log31＝0，故a＝log32∈，b＝log2<0，c＝log56>log55＝1，故b<a<c故选C. [总结] 　对数值比较大小的常用方法 (1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量． (3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较． (4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较． 角度2　解不等式 例2.(1)解不等式log2(x＋1)>log2(1－x)； (2)若loga<1，求实数a的取值范围． 解： (1)原不等式等价于解得0<x<1.∴原不等式的解集为(0，1). (2)若a>1，则loga<1＝logaa，∴a>1. 若0<a<1，则loga<1＝logaa，∴0<a<，综上所述：实数a的取值范围是∪(1，＋∞). 【母题探究】　将本例(1)改为loga(x＋1)＞loga(1－x)，求解x的集合． 解：当a＞1时，得解集为(0，1). 当0＜a＜1时，得解集为(－1，0). 综上可得：x的取值范围是(－1，0)∪(0，1). [总结] 　对数型不等式的解法 (1)logaf(x)<logag(x)，a>1与不等式组同解． (2)logaf(x)<logag(x)，0<a<1与不等式组同解． (3)特别地：当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a>1及0<a<1进行分类讨论． 角度3　函数y＝logaf(x)单调区间求法 例3.求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间． 解：由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为. ①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数． ②0<a<1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在上为增函数． 综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为；当0<a<1时，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(2，＋∞). [总结] 　对数型y＝logaf(x)复合函数的单调性，如果定义域为D. y＝logaf(x)的增区间 y＝logaf(x)的减区间 a>1 定义域内f(x)的单调增区间 定义域内f(x)的单调减区间 0<a<1 定义域内f(x)的单调减区间 定义域内f(x)的单调增区间 角度4　函数y＝logaf(x)的最值与值域 例4.求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log(3＋2x－x2). 解：(1)设u＝x2＋4≥4.而y＝log2u是增函数．y≥log24＝2. ∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞). (2)设t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4.令t＞0，－1＜x＜3.则0＜t≤4.又∵y＝logt为减函数．∴y≥log4＝－2， ∴函数y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞). [总结] 　求形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数的值域的步骤 (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解．不确定函数的单调性时要分类讨论． 角度5　由对数函数单调性求参数或范围 例5.已知f(x)＝log(x2－ax－a). (1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域； (2)若f(x)在上为单调增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1).∵x2＋x＋1＝＋≥， ∴log (x2＋x＋1)≤log＝2－log23， ∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]. ∵y＝x2＋x＋1在上递减， 在上递增，y＝logx在(0，＋∞)上