6.2 第一课时 指数函数的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

6．2　指数函数 ► 对应学生用书P102 [课程标准]　1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景　2.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数的图象．　3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 函数的概念 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 　　　　　 一、指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是R．值域y的范围为(0，＋∞). 想一想：为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． ②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 (1)定义：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)应用：刻画指数增长或衰减变化规律． 【基点小试】 1．(多选)下列函数是指数函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝2x＋1 C．y＝2－x D．y＝πx 解析：选CD.根据指数函数的定义，形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数，其系数为1，故A选项不满足形式；B选项的系数为2；C选项y＝2－x＝，满足；D选项满足． 2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1 C．a>，且a≠1 D．a≥ 解析：选C.依题意得：2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C. 3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).分别经过3小时和4小时，这种细菌由1个可繁殖成(　　) A．511个和4 096个 B．512个和4 095个 C．511个和4 095个 D．512个和4 096个 解析：选D.因为每20分钟分裂一次，故3个小时共分裂了9次，所以共繁殖细菌29＝512(个)；4个小时共分裂了12次，所以共繁殖细菌212＝4 096(个). 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　指数函数的概念 例1.下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x； (4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数). 解：(1)y＝10x符合定义，是指数函数． (2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数． (3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数． (4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数． [总结] 　判断指数函数的方法 判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，a≠1)这一结构形式．要满足指数函数解析式的三个特征． 【练一练】 1．指出下列函数哪些是指数函数：(1)y＝3x；(2)y＝x2；(3)y＝－3x；(4)y＝(－3)x. 解：(1)为指数函数． (2)中底数不是常数，故不是指数函数． (3)是－1与指数函数3x的乘积． (4)中底数－3<0，故不是指数函数． 题型二　指数函数的解析式及其应用 例2.函数y＝(a2－a－1)·ax是指数函数，求a的值． 解：依题意应有 解得a＝2(a＝－1舍去).所以a的值是2. [总结] 　求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1). (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 【练一练】 2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 解析：选C.由指数函数的定义知： ∴a＝2(a＝1舍去). 题型三　函数模型y＝kax的实际应用 例3.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半，已知铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，若物质B的半衰期为8小时，则物质A的半衰期为________小时． 解析：设物质A的半衰期为t小时，开始记录时容器中物质B的质量为m， 依题意：2m·＝m·，解得：t＝7.5，所以物质A的半衰期为7.5小时． 答案：7.5 [总结] 　(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律，若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律． (2)解决此类问题可利用待定系数法，