6.2 第三课时 指数函数的图象和性质(二)-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

第三课时　指数函数的图象和性质(二) ► 对应学生用书P106 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　指数函数性质 角度1　比较大小 例1.比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1). 解：(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为函数y＝0.6x在R上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. [总结] 　指数幂大小比较问题的三种类型及解法 (1)对于底数相同、指数不同的两个幂，可以利用指数函数的单调性来判断大小； (2)对于底数不同、指数相同的两个幂，可以利用函数图象的变化规律来判断大小； (3)对于底数不同、指数也不同的两个幂，则可通过中间值(特别是0，1)来比较大小． 角度2　指数不等式的解法 例2.(1)解不等式≤2； (2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围． 解：(1) ， 所以原不等式等价于≤21. 因为y＝2x是R上的增函数， 所以2－x2≤1. 所以x2≥1， 即x≥1或x≤－1. 所以原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}． (2)因为a2＋a＋2＝＋>1， 所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数， 所以x>1－x， 解得x>， 所以x的取值范围是. [总结] 　指数不等式的两种类型及解法 (1)形如ax>ab的不等式，借助函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解． 角度3　形如y＝af(x)(a>0且a≠1)型函数单调性 例3.函数f(x)＝的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由x2－x－1≥0，得x≤或x≥. 函数t＝x2－x－1在上为减函数，在上为增函数，而函数y＝在t∈[0，＋∞)上是减函数， 所以函数f(x)＝的单调递增区间为.故选A. [总结] 　(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 角度4　指数型函数的定义域、值域 例4.求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝4x＋2x＋1＋3. 解：(1)由x－4≠0，得x≠4， 所以函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). 因为x－4≠0，即≠0， 所以2≠1. 故函数的值域为(0，1)∪(1，＋∞). (2)显然定义域为R. 因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，且y＝在R上为减函数， 所以≥＝. 故函数y＝的值域为. (3)由32x－1－≥0，得32x－1≥＝3－2. 因为y＝32x－1在R上为增函数， 所以2x－1≥－2，解得x≥－. 故函数的定义域为. 由上可知32x－1－≥0， 所以y≥0. 即函数的值域为[0，＋∞). (4)显然定义域为R. 由题意，得y＝4x＋2x＋1＋3＝(2x＋1)2＋2， 由于2x>0， 所以(2x＋1)2>1， 所以y＝4x＋2x＋1＋3的值域是(3，＋∞). [总结] 　(1)对于y＝af(x)这类函数： ①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围． ②值域问题，应分以下两步求解： a．由定义域求出u＝f(x)的值域； b．利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域． (2)利用指数函数y＝ax的定义域和值域求变异或复合后的函数的定义域与值域时的方法如下： 由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域． (3)形如f(x)＝k·a2x＋m·ax＋t(a>0且a≠1，k，m≠0