5.4 第二课时 奇偶性的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

第二课时　奇偶性的应用　　　　　 ► 对应学生用书P92 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 函数的单调性与奇偶性 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 记一记：偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【基点小试】 1．定义在[－3，3]上的偶函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图中曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则函数f(x)的单调递减区间是________． 解析：利用偶函数的图象关于y轴对称，作出其在[－3，0]上的图象后写出单调递减区间． 由于函数f(x)是[－3，3]上的偶函数，所以其图象如图所示．所以它的单调递减区间为[－1，0]和[1，3]. 答案：[－1，0]和[1，3] 2．若奇函数f(x)在区间[－4，－2]上的最大值为2，则f(x)在区间[2，4]上的最小值为________． 答案：－2 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　用奇偶性求解析式 例1.(1)(2021·安徽合肥高一期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．－x2＋x B．x2＋x C．x2－x D．－x2－x 解析：选B.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时f(x)＝x2－x， 设x<0，则－x>0，f(x)＝f＝－＝x2＋x. (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x＋－4.求函数f(x)在R上的解析式． 解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0. 设x＜0，则－x＞0， 由x＞0时，f(x)＝x＋－4可知， f(－x)＝－x－－4， 又f(x)为奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝x＋＋4(x<0)， 所以函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝ [总结] 　利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间的函数解析式中． (3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x). 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 【练一练】 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2－x，则f(x)＝___________________. 解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(0)＝0； 当x>0时，f(x)＝－x2－x； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2＋x， 又f(－x)＝－f(x)，可得x＜0时，f(x)＝x2－x. 所以f(x)＝ 答案： 2．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，则函数f(x)的解析式为__________． 解析：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x). 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝. 答案： 题型二　利用函数的单调性与奇偶性比较大小 例2.函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)<f<f B．f<f(1)<f C．f<f<f(1) D．f<f(1)<f 解析：选B.∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f＝f，f＝f，又f(x)在[0，2]上单调递增， ∴f<f(1)<f， 即f<f(1)<f. [总结] 　比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上： (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【练一练】 3．已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则(　　) A．f<f<f B．f<f<f C．f<f<f D．f<f<f 解析：选D.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f＝f，f＝f， 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数， 所以函数f(x)在上是增函数， 因为2<3<4，∴f<f<f， ∴f<f<f(2). 题型三