5.3 第一课时 函数的单调性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

5．3　函数的单调性 ► 对应学生用书P80 [课程标准]　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性．　2.理解单调性的作用和实际意义．　3.借助函数图象，会用符号语言表达的最大值、最小值．　4.理解函数的最大值、最小值的作用和实际意义． 第一课时　 单调性 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、增函数与减函数 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1<x2时，都有 (1)f(x1)<f(x2) ①称y＝f(x)在区间I上是增函数． ②I称为y＝f(x)的增区间． (2)f(x1)>f(x2) ①称y＝f(x)在区间I上为减函数． ②I称为y＝f(x)的减区间． 记一记：(1)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：①属于同一个区间D；②任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；③区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. (2)单调性的等价形式 ①若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上单调递增． ②若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0或<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，即x2>x1时，f(x2)<f(x1)，所以f(x)在D上单调递减． 二、函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 想一想：函数y＝在，上都单调递减，那么函数y＝在定义域上是减函数吗？函数的单调递减区间怎样表示？ 提示：函数y＝在定义域上不具有单调性；函数的单调递减区间为和. 记一记：常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y＝ ax＋b(a≠0) a>0时，在R上单调递增；a<0时，在R上单调递减 反比例函数 y＝(a≠0) a>0时，单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0时，单调增区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 二次函数y＝ a(x－m)2＋n(a≠0) a>0时，单调减区间是(－∞，m]，单调增区间是(m，＋∞)；a<0时，单调减区间是[m，＋∞)，单调增区间是(－∞，m) 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1，2]上单调递增．(　　) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1).(　　) (3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1，3)上单调递增．(　　) (4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　　) (5)若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝－f(x)在区间D上单调递减．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) 解析：选B.由单调性定义知只有B选项是单调函数． 3．已知函数f(x)＝kx＋b，当k＞0时，f(x)在R上为________函数；当k＜0时，f(x)在R上为________函数．(填“增”或“减”) 答案：增　减 4．(1)函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是________． (2)函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________． 答案：(1)　(2)(－∞，－1] 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　利用图象求函数的单调区间 例1.已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R. (1)将函数写成分段函数的形式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象写出它的单调区间． 解：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝ (2)作出函数图象如图． (3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2). [总结]　求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间． 【练一练】 1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 解析：选ABD.根据图象上升和下降分别对应增区间和减区间知A