5.3 第二课时 函数的最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

第二课时　函数的最值　　　 　 ► 对应学生用书P85 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 1．函数的最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)． 2．函数的最小值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)． 记一记：函数的最值和值域的联系与区别 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域． (2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数f(x)＝x2对任意的x∈R都有f(x)≥－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内； ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 【基点小试】 1．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为______，最大值为________． 解析：由图可知，图象最低点的纵坐标为－1，图象最高点的纵坐标为2，所以函数的最大值为2，最小值为－1. 答案：－1　2 2．函数f(x)＝，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：函数f(x)＝在[2，4]上是减函数，所以最大值为f(2)＝1，最小值为f(4)＝. 答案：1　 3．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________. 解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4. 答案：4 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　图象法求函数的最值(值域) 例1.已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值． 解：作出f(x)的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2； 当x＝时，f(x)取最小值为－. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－. [总结] 　利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． 【练一练】 1．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2) B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 解析：选C.由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5). 题型二　单调性法求函数的最值(值域) 例2.已知函数f(x)＝x＋. (1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增； (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值． 解：(1)证明：设1≤x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. ∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1， ∴x1x2－1>0， ∴<0， 即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增， ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2， 当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝. 综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2. [总结] 　1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． 【练一练】 2．已知函数f(x)＝.求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值． 解析：∀x1，x2∈[2，9]，且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝－ ＝－＝. 因为x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). 所以函数f(x)在区间[2，9]上单调递增． 故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝＝，最小值为f(2)＝＝. 题型三　一元二次函数的最值 角度1