4.2.2 对数的运算性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

4．2.2　对数的运算性质 ► 对应学生用书P63 [课程标准]　1.理解对数运算性质．　2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、对数的运算性质 条件 a>0，且a≠1，M>0，N>0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 二、换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 记一记：利用对数换底公式可以得出常用的推论： (1)logab·logba＝1⇔logab＝； (2) 【基点小试】 1．2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选C.2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5100×0.25＝log525＝log552＝2log55＝2. 2．lg 0.01＋log216的值是________． 解析：lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2. 答案：2 3．log23·log34·log42＝________． 解析：log23·log34·log42＝··＝1. 答案：1 4．若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________． 解析：法一　由已知可得··＝2，即＝2，∴lg 3＝2lg a， ∴a2＝3，a＝. 法二　由已知得logab··＝2，即loga3＝2，∴a＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　对数运算性质的应用 例1. 计算：(1)； (2)(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5. 解：(1)原式＝＝ ＝. (2)原式＝lg 2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1. [总结] 　底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). (3)注意事项 ①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题． ②准确应用以下结论： loga1＝0， logaa＝1， alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0). 【练一练】 1．计算：(1)2log32－log3＋log38－25log53 (2)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18. 解：(1)原式＝log34－log3＋log38－25log259＝log3－9＝log39－9＝2－9＝－7. (2)原式＝lg 14－lg ＋lg 7－lg 18＝lg ＝lg 1＝0. 题型二　换底公式的应用 角度1　用已知对数式表示对数值 例2. 已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456. 解：因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝， log1456＝＝ ＝＝＝. 【母题探究】　(1)若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，用a，b表示log1456. 解：因为3b＝2，所以b＝log32，又因为a＝log37，所以log1456＝＝＝＝. (2)本题中a不变，b＝log36，试用a，b表示log1456. 解：因为log36＝log33＋log32＝b，所以log32＝b－1.又因为log37＝a，所以log1456＝＝. [总结] 　用已知对数式的值表示不同底数的对数值，首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数，然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式． 角度2　应用换底公式求值 例3. 计算：(1)log1627log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83). 解：(1)log1627log8132＝×＝×＝×＝. (2)(log32＋log92)(log43＋log83) ＝ ＝ ＝log32×log23 ＝×× ＝. [总结] 1.利用换底公式化简求值时应注意的问题 ①针对具体问题，选择恰当的底数． ②注意换底公式与对数运算法则结合使用． ③换底公式的正用与逆用． ④恰当应用换底公式的两个常用结论． 2．利用换底公式计算、化简、求值的思路 【练一练】 2. 设a＝lg 6，b＝lg 20，则log23等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为a＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b＝lg 20＝1＋lg 2，所以log23＝＝，故选D. 3．计算：log54·log