3.3.1 从函数观点看一元二次方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

3．3.1　 从函数观点看一元二次方程 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 记一记：函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应方程的实数根． 二、函数零点的探究 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1，2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x＝ 无零点 记一记：求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0.若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的实数根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点． 【基点小试】 1．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析：选C.令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1. 2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________． 解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2. 答案：2 3．求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解：(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－. (2)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，可知该函数的零点为－3和1. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　二次函数的零点 例1.(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________； (2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________． 解析：(1)由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4. 所以函数y＝x2－7x＋12的零点为3和4. (2)由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2的零点为－和－. 答案：(1)3和4　(2)－和－ [总结] 　二次函数零点的求法 (1)代数法：求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点； (2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点． 【练一练】 1．求函数y＝ax2－x－a－1(a∈R)的零点． 解：①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1. 当＝－1时，即当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1. 当≠－1且a≠0时，即当a≠－且a≠0时，x1≠x2， 函数有两个零点－1和. 综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1. 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和. 题型二　函数零点个数的判断与证明 例2.若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． 证明：因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)， 又a>2，所以Δ>0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． 【母题探究】　(变设问)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件． 解：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点． 当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解，函数无零点． 当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根． 所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0. 即或 解得a≥2或a≤－2，又a≠2所以a>2或a≤－2， 所以函数y＝(a－