3.3.2 从函数观点看一元二次不等式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“从函数观点看一元二次不等式”，以一元二次不等式概念为起点，衔接二次函数图像与方程关系推导解法，延伸至含参不等式分类讨论，再拓展到分式不等式、恒成立问题及实际应用，构建完整学习支架。 该资料以刹车距离等实际情境导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过三个“二次”关系梳理和例题分层设计，发展数学思维的逻辑性与严谨性。课后分层检测（A/B/C级）及实际应用案例，助力课中教学实施与课后学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的能力。

3.3.2 从函数观点看一元二次不等式 新课导入 汽车在行驶中，由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”,刹车距离是分析事故的一个重要因素.一般来说,刹车距离与车速是二次函数关系,我们可以根据汽车的刹车距离估计汽车是否超过规定限速. 学习目标 1.从函数观点看一元二次不等式，了解一元二次不等式的意义. 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 3.能借助一元二次不等式的解法解决有关分式不等式及不等式恒成立问题. 4.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题. 第1课时 一元二次不等式的解法 新知学习 探究 一 一元二次不等式 给出下面四个不等式： （1）；（2）； （3）；（4）（为常数）. 思考1．以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 思考2．对于（4）的不等式，二次项系数与一次项系数对调后，还是一元二次不等式吗？ 【答案】思考1 提示 含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 思考2 提示 二次项系数与一次项系数对调后变为，当时，是一元一次不等式；当时，是一元二次不等式. ［知识梳理］ 1．只含有①_ _ _ _ 未知数,并且未知数最高次数是②_ _ _ _ 的整式不等式叫作一元二次不等式. 【答案】一个； 2 2．一元二次不等式的一般形式是③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （其中,,均为常数,）. 【答案】； ［例1］ （对接教材例1）解下列不等式. （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 【答案】 （1） 【解】方程 的两实根为,,作出函数 的图象，如图1.由图可得原不等式的解集为. （2） 原不等式等价于. , 解方程, 得,.作出函数 的图象，如图2, 由图可得原不等式的解集为. （3） 方程 有两个相等的实根.作出函数 的图象，如图3.由图可得原不等式的解集为. （4） 原不等式可化为,因为,所以方程 无实根，所以原不等式的解集为 . 解一元二次不等式的步骤 ［跟踪训练1］． （1） 若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 根据一元二次不等式的定义可得，解得. （2） 由，解得，所以所求不等式的解集为. 二 一元二次不等式、二次函数与一元二次方程的对应关系 ［知识梳理］ 判别式 二次函数的图象 方程的根 有两个相异的 实数根, 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 ①_ _ _ _ 的解集 ②_ _ _ _ ③_ _ _ _ 【答案】； ； ［例2］ 若关于的一元二次不等式的解集为,求关于的不等式的解集. 【解】 由题意知 所以 代入不等式 得. 即, 化简得,解得, 所以所求不等式的解集为. 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下： ［跟踪训练2］．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为不等式 的解集为， 所以二次函数 的对称轴为直线， 且需满足 即 解得 所以， 所以， 所以. 三 解含参数的一元二次不等式 ［例3］ 已知关于的不等式. （1） 当时，求不等式的解集； （2） 当时，求不等式的解集. 【答案】 （1） 【解】时，不等式为，即， 解得 或， 所以不等式的解集为 ,. （2） 当 时，不等式可化为，即， 若，则不等式为，不等式的解集为 ； 若，则，解不等式得，不等式的解集为,； 若，则，解不等式得，不等式的解集为,. 综上，当 时，不等式的解集为,;当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为,. 含参一元二次不等式的求解策略 ［跟踪训练3］．解关于的不等式. 解：不等式 可化为,令,解得,. 当，即 时，不等式的解集为,; 当,即 时，不等式的解集为 ，; 当,即 时，不等式的解集为. 综上所述，当 时，不等式的解集为,; 当 时，不等式的解集为， ，； 当 时，不等式的解集为. 课堂巩固 自测 1．不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.可化为.因为 的两根为,,所以 的解集为. 2．[（2025·盐城月考）]使有意义的的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题可得，可转化为，解得.所以 的取值范围为. 3．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题图知不等式 的解集是. 4．已知. （1） 当时，求不等式的解集； （2） 解关于的不等式. 【答案】（1） 解：当 时，不等式 化为,解得 或,所以不等式的解集为 或. （2） 关于 的不等式,即,当 时，不等式化为,不等式无解；当 时，解不等式,得;当 时，解不等式,得.综上所述,当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为;当 时，不等式的解集为. 1.已学习：一元二次不等式的解法. 2.须贯通：（1）根据三个“二次”的关系求解一元二次不等式； （2）解含参一元二次不等式进行讨论时要不重不漏:二次项系数、判别式、两根大小. 3.应注意：注意二次项系数为0和小于0的情况. 课后达标 检测 A 基础达标 1．不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.不等式，化为，即，解得，所以不等式 的解集为. 2．不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】选.因为，所以不等式等价于，即，解得 或，所以原不等式的解集是 或.故选. 3．[（2025·宿迁期中）]若关于的一元二次不等式的解集为 ，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】选.由于关于 的一元二次不等式 的解集为 ，所以，解得.故选. 4．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题知1和3是方程 的两个实数根，且.则 解得 所以不等式 等价于，即，解得，所以不等式 的解集是. 5．[（2025·昆明期中）]设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由，即，解得， 对比选项，只有 是 的真子集， 可知不等式 成立的一个充分不必要条件是. 6．（多选）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.由题图得，对称轴，则，故 正确;当 时，，故 错误;当 时，，则，故 正确;当 时，，则，故 正确.故选. 7．若，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题知，一元二次方程 的两个根分别为，，因为，可得， 因此不等式 的解集是. 8．已知二次函数的两个零点分别为3,6，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】二次函数 的图象开口向上，且3和6为其两个零点，所以 的解集为 或. 9．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】不等式 即，由不等式的解集为， 则有 且，即 且， 令，解得 或， 由 可知，不等式 的解集为. 10．（13分）解下列不等式： （1） ；（4分） （2） ；（4分） （3） .（5分） 【答案】 （1） 解：原不等式可化为， 所以，解得， 故原不等式的解集是. （2） 原不等式可化为， 所以，解得 或， 故原不等式的解集为 或. （3） 对于方程, 因为， 所以原不等式的解集是. B 能力提升 11．已知关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由，得，因为解集中恰好有两个正整数，所以可判断解集为，两个正整数为2，3，故实数 的取值范围为. 12．[（2025·泰州月考）]（多选）已知关于的不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ） A. 不等式的解集可以是 B. 不等式的解集可以是 C. 不等式的解集可以是 D. 不等式的解集可以是或 【答案】AC 【解析】选.在 中，取，，得，解集为，故 正确； 在 中，若,解集必不为 ，若，，解集也必不为 ，故 错误； 在 中，依题意得，且 解得 符合题意，故 正确; 在 中，依题意得，且 解得 不符合题意，故 错误.故选. 13．设有两个命题：①方程没有实数根；.如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】①方程 没有实数根，则,解得； ②，解得. 当①真②假时：“”且“”， 所以. 当①假②真时：“或”且“”， 所以. 综上所述，实数 的取值范围是 或. 14．（15分）已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1） 求；（6分） （2） 若不等式的解集为,求不等式的解集.（9分） 【答案】 （1） 解：由 得. 所以. 由 得, 所以. 所以. （2） 由题意及（1）得 和2为 的两根，所以 解得 所以不等式 即为,即, 解得 或.所以所求不等式的解集为 或. C 素养拓展 15．（15分）已知函数. （1） 若的解集是或，求实数的值；（7分） （2） 当时，若，则函数有解，求的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：依题意，的解集是 或， 所以 解得. （2） 当 时，在 有解， 即 在 有解， 因为 的图象开口向上，对称轴为直线， ①当 即，时，函数取得最小值，即， 所以. ②当 即，时，函数取得最小值，此时，解得 或,所以. ③当 即，时，函数取得最小值，此时， 解得，所以, 综上，或. 所以 的取值范围为. 第2课时 一元二次不等式的应用 新知学习 探究 一 分式不等式的解法 ［例1］ 解下列不等式： （1） ; （2） . 【答案】 （1） 【解】转化为, 不等式等价于, 解得 或.故原不等式的解集为. （2） 因为,所以, 所以, 则 且. 所以 且, 解得 或. 故原不等式的解集为. 分式不等式的求解策略 （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. （3）分式不等式同解法则：不等式和不等式同解； 不等式和不等式同解； 不等式和不等式且同解； 不等式和不等式且同解. ［跟踪训练1］．已知关于的不等式的解集为.若，，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】由，得，即 解得 或. 又，所以 或， 即 或，解得. 综上，的取值范围是 或. 二 一元二次不等式恒成立问题 ［例2］ 对，不等式,求实数的取值范围. 【解】 若, 显然 恒成立； 若，则 解得. 综上，实数 的取值范围为. 母题探究．在本例中，把条件“”改为“”,其余不变，求实数的取值范围. 解：由不等式 得,因为,所以,所以 可化为,因为,所以,所以. 即实数 的取值范围是. 一元二次不等式恒成立问题的求解方法 （1）转化为对应的二次函数图象与轴的交点问题，考虑的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面. （2）转化为二次函数的最值问题，分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于（小于）这个最值. ［跟踪训练2］．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】当 时，恒成立；当 时，由题意得 解得, 因此实数 的取值范围是. 三 一元二次不等式的实际应用 ［例3］ （对接教材例4）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车的刹车距离单位：与车速单位：之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 【解】 由题意得，对于甲车，， 即，而， 解得，甲车未超过规定限速， 同理对于乙车，， 即，而， 解得，乙车超过规定限速. 所以甲车没有超速现象，乙车有超速现象. 解不等式实际应用题的步骤 ［跟踪训练3］．某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个. （1） 据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2 000个，要使年销售总收入不低于原收入，则每个削笔器的售价最多为多少元？ （2） 为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到元.公司计划投入万元作为技术革新费用，投入30万元作为固定宣传费用.问：技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和?并求此时每个削笔器的售价. 【答案】（1） 解：设每个削笔器的售价为 元，由题意可得，即，解得.故要使年销售总收入不低于原收入，则每个削笔器的售价最多为90元. （2） 当 时，有解，即 有解，因为,当且仅当,即 时等号成立，所以，因此，该削笔器的年销售量 至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器的售价为30元. 课堂巩固 自测 1．不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】选.原不等式可化为 解得 故其解集为.故选. 2．[（2025·宿迁期中）]若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.在 上恒成立等价于 在 上恒成立，故，即. 3．已知不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】因为不等式 的解集不是空集，所以一元二次方程 有两个不同的根，所以,所以 或. 4．甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品，每小时可获得利润元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则的最小值是_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则，整理得，又，所以，解得 或，结合 的取值范围可得.故 的最小值是3. 1.已学习： （1）简单分式不等式的解法; （2）一元二次不等式恒成立问题; （3）利用不等式解决实际问题. 2.须贯通： （1）一元二次不等式恒成立问题的判别式法和分离参数法； （2）用一元二次不等式求解实际问题的解法步骤：①选取字母表示未知数；②列出关于未知数的不等式（组）；③求解所列的不等式（组）；④结合实际确定答案. 3.应注意：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准. 课后达标 检测 A 基础达标 1．不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】选.由， 得 所以. 2．若存在实数使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意，所以 或. 3．[（2025·张家口期中）]“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由，得，解得，不等式“”的一个充分不必要条件应是 的真子集，选项中只有 是 的真子集. 4．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.当，即 时，原不等式为，恒成立；当 时，则 解得.所以.故选. 5．已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.解不等式组 得 所以不等式组的解集是.关于 的不等式 的解集包含，令函数，则 的判别式，且当 和 时，的函数值均小于等于0，即 解得.故选. 6．（多选）某自来水厂的蓄水池存有水，水厂每小时可向蓄水池中注水，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，内供水总量为，则下列说法中正确的是（ ） A. 蓄水池中的存水量最少为 B. 从供水开始到第6个小时时蓄水池中的存水量最少 C. 从供水开始到第4个小时时蓄水池中的存水量多于 D. 在一天的24小时内，有8个小时蓄水池中的存水量少于 【答案】BD 【解析】选.设 后蓄水池中的水量为，则.设，则，所以.因为，所以当，即 时，，即从供水开始到第6个小时时，蓄水池中的存水量最少，最少为，故 错误，正确；令，即，解得 或，所以 或，故 错误；由，得.又，所以每天约有8个小时蓄水池中的存水量少于，故 正确. 7．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由不等式，得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 8．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价元所在的范围应是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设每个涨价 元，则涨价后的利润与原利润之差为.要使商家利润有所增加，则必须使，即，得.所以售价 元所在的范围应为. 9．若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】易得不等式 的解集为，由题意得， 所以 解得， 故实数 的取值范围是. 10．[（2025·衢州期中）]（13分）已知集合，. （1） 判断是否为集合中的元素，并说明理由；（6分） （2） 若全集，求，.（7分） 【答案】 （1） 解：不是集合 中的元素，理由如下： 由 可得，解得 或， 所以，或，因此. （2） 因为， 所以，或， 又因为，故. B 能力提升 11．[（2025·苏州期中）]已知集合，，若，则整数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】选.由不等式，得 解得.故集合，若，则，所以，则整数 的最小值为3. 12．已知关于的不等式的解集为，则的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得，和2是方程 的两个根，且， 所以 解得 所以不等式 可化为， 即，该不等式等价于 解得， 即不等式 的解集为. 13．在上定义运算,若存在,使不等式成立，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题知，存在, 使不等式 成立， 所以存在, 使不等式 成立， 因为, 所以函数 的最大值为. 所以,所以. 14．（15分）已知二次函数的图象过点，，且与反比例函数的图象交于点. （1） 求二次函数与反比例函数的表达式；（7分） （2） 若对,恒成立，求参数的取值范围.（8分） 【答案】 （1） 解：因为点 在反比例函数 的图象上，故有,解得,从而反比例函数为. 又因为二次函数 的图象过点，，， 所以 解得 所以. （2） 由（1）知，二次函数的表达式为, 故有 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 所以, 又, 所以，解得. C 素养拓展 15．（15分）现有如图所示的矩形地块，其中，，现根据市政规划建设占地如图中矩形所示的幼儿园，要求顶点在地块的对角线上，，分别在边，上. （1） 要使幼儿园的占地面积不小于，的长度应该在什么范围内？（7分） （2） 如何设计才能使幼儿园的占地面积最大？最大面积是多少？（8分） 【答案】 （1） 解：设， 由题意得， 所以， 即， 则. 设矩形 的面积为， 则. 要使幼儿园的占地面积不小于， 则， 化简得， 解得. （2） 由（1）得 ， 当且仅当，即 时等号成立，此时， 故当，时，幼儿园的占地面积最大，最大面积是. 学科网（北京）股份有限公司 $