第二章 6.1 第2课时 函数单调性的综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　函数单调性的综合应用 [学习目标]　1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系．　2.能求简单的含参的函数的单调区间．　3.能根据函数的单调性求参数的取值范围． 应用一　求含参函数的单调区间 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋x＋1，其中a∈R.求函数f(x)的单调区间． 解析：f(x)＝ln x＋ax2＋x＋1，定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＋a＋2＝， 当a＝0时，f′(x)＝>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>0时，f′(x)＝＝>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a<0时，令f′(x)>0，得0<x<－；令f′(x)<0，得x>－. 即f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 当a<0时，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减． 利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 第一步：确定函数f(x)的定义域； 第二步：求导数f′(x)； 第三步：分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 第四步：在不同的参数范围内，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，确定函数f(x)的单调区间．　　 即时练1.已知函数f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)，求函数f(x)的单调区间． 解析：f′(x)＝－ax2＋2x＝－x(ax－2)， ①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，f′(x)＝2x，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞). ②当a<0时， 令f′(x)>0，(－ax＋2)x>0，即x>0， 所以x>0或x<； 令f′(x)<0，得<x<0. 故f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为. 综上所述，当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为. 应用二　已知函数的单调性比较大小(或解不等式) (2023·陕西西安期中)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则(　　) A．ef>f，f>ef B．ef>f，f<ef C．ef<f，f<ef D．ef<f，f>ef D　[构造函数g(x)＝⇒g′(x)＝，因为f(x)<f′(x)， 所以g′(x)>0，因此函数g(x)是增函数，于是有g(2)>g(1)⇒>⇒f(2)>ef(1)， 构造函数h(x)＝f(x)·ex⇒h′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)<f′(x)<0，所以h′(x)<0，因此h(x)是单调递减函数，于是有h(2)<h(1)⇒e2f(2)<ef(1)⇒ef(2)<f(1).故选D.] 已知不等式构造函数，常利用乘积或商的导数，然后对构造的函数判断单调性，最后根据单调性比较大小或解不等式即可．　　 即时练2.f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足xf′(x)＋2f(x)>0，则不等式<的解集为(　　) A．{x|x>－2 020} B．{x|x<－2 020} C．{x|－2 023<x<0} D．{x|－2 023<x<－2 020} D　[构造g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，因为定义域为(0，＋∞)，且xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)>0，所以函数g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不等式<可化为：(x＋2 023)2f(x＋2 023)<32f(3)，即g(x＋2 023)<g(3)，所以有0<x＋2 023<3， 解得－2 023<x<－2 020.即不等式的解集为{x|－2 023<x<－2 020}．故选D.] 应用三　已知函数的单调性求参数的取值范围 已知关于x的函数y＝x3－ax＋b. (1)若函数y在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值． 解析：y′＝3x2－a. (1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上单调递增， 则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2在x∈(1，＋∞)上恒成立， 则a≤(3x2)min. 因为x>1，所以3x2>3. 所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]. (2)令y′>0，得x2>. 若a≤0，则x2≥恒成立，即y′≥0恒成立， 此时，函数y＝x3－ax＋b在R上单调递增，与题意不符． 若a>0，令y′>0，得x>或x<－. 因为(1，＋∞)是函数y的一个单调递增区间， 所以 ＝1