第二章 6.1 第1课时 函数的单调性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§6　用导数研究函数的性质 6．1　函数的单调性 第1课时　函数的单调性 [学习目标]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　2.能利用导数研究函数的单调性．　3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 知识点　导数的符号与函数单调性的关系 已知函数： (1) f(x)＝2x＋6，(2) f(x)＝()x，(3)f(x)＝ln x，(4)f(x)＝x2，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？ 提示：(1) f′(x)＝2>0，f(x)＝2x＋6是增函数． (2)f′(x)＝ ln <0，f(x)＝()x是减函数． (3) f′(x)＝>0，f(x)＝ln x是增函数． (4) f′(x)＝2x，当x>0时，f′(x)>0，f(x)＝x2为增函数；当x<0时，f′(x)<0，f(x)＝x2为减函数． 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： (1)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增； (2)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减． 若在某个区间内，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减． [微提醒]　“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为单调递增(减)”的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性．例如函数f(x)＝x3，在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但因为f′(x)＝3x2，所以f′(0)＝0，即不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0. 角度一　函数图象与其导数图象的判别 (1)函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) (2)函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为____________． 解析：(1)从函数y＝f(x)的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)<0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)>0.结合选项可知，只有D项满足． (2)函数y＝f(x)在区间和区间(2，3)上单调递减，所以在区间和区间(2，3)上，f′(x)<0， 所以f′(x)<0的解集为∪(2，3). 答案：(1)D　(2)∪(2，3) 　 函数的图象与函数的导数关系的判断方法 1．对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减． 2．对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．　 即时练1.已知函数f(x) 的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　) D　[ 原函数在[－3，3]上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在(0，0)处与x轴相切，故f′(0)＝0，可知导函数图象可能为D.故选D.] 即时练2.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) D　[由导函数的图象可知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，排除A，C，在(0，2)上单调递减，排除B.故选D.] 角度二　利用导数判断函数单调性 利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3－x2＋2x－5； (2)f(x)＝x－－ln x(x>0)； (3)f(x)＝. 解析：(1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5， 所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5在R上为增函数． (2)因为f(x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝1＋－＝＝>0， 所以f(x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上为增函数． (3)因为f(x)＝，所以f′(x)＝， 令f′(x)>0，得x<3，令f′(x)<0，得x>3， 所以f(x)＝的单调递增区间是(－∞，3)； 单调递减区间是(3，＋∞). 　 利用导数判断或证明一个函数的单调性 实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在定义域或给定区间上恒成立．一般步骤为： 第一步：确定函数的定义域(给定区间除外)； 第二步：求导函数f′(x)； 第三步：判断f′(x)的符号； 第四步：给出单调性结论．　 即时练3.证明函数f(x)＝2x3－6x2＋7在区间上单调递减． 证