第二章 培优微课4 导数的运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

导数的运算主要是结合导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数，在熟练掌握公式的基础上灵活应用． 一 、求函数的导数 求下列函数的导数： (1)y＝99；(2)y＝； (3)y＝sin (2x＋5)；(4)y＝； (5)y＝2ln (3x). 解析：(1)y＝99，y′＝9998. (2)′＝·2＝， y＝，y′＝ ＝＝. (3)y＝sin (2x＋5)， y′＝2sin (2x＋5)＋×2cos (2x＋5)＝2sin (2x＋5)＋cos (2x＋5). (4)y＝， y′＝ ＝. (5)y＝2ln (3x)， y′＝2×3×ln (3x)＋2·×3＝ 6ln (3x)＋. 　　 即时练1.(多选)(2022·广东广州高二期末)下列求导运算正确的是(　　) A．若f(x)＝sin ，则f′(x)＝2cos B．若f(x)＝e-0.05x+1，则f′(x)＝e-0.05x+1 C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝x＋ln x，则f′(x)＝1＋ ACD　[A.因为f(x)＝sin ，所以f′(x)＝2cos ，故正确； B．因为f(x)＝e-0.05x+1，所以f′(x)＝－0.05e-0.05x+1，故错误； C．因为f(x)＝ ，所以f′(x)＝＝，正确； D．因为f(x)＝x＋ln x，所以f′(x)＝1＋，故正确．故选ACD.] 即时练2.(多选)已知函数f(x)＝x cos x的导函数为f′(x)，则(　　) A．f′(x)为偶函数 B． f′(x)为奇函数 C．f′(0)＝1 D． f＋f′＝ AC　[f′(x)＝cos x－x sin x．对于AB，因为f(x)＝x cos x是奇函数，所以f′(x)是偶函数，故A正确，B错误；对于C，f′(0)＝cos 0－0sin 0＝1，故C正确；对于D，f＋f′＝cos ＋cos －sin ＝0＋0－＝－，故D错误．故选AC.] 二、与导数几何意义有关的问题 已知曲线C1：y＝x3和C2：y＝ax2＋x－2(a∈R). (1)若曲线C1，C2在x＝1处的切线互相垂直，求a的值； (2)若与曲线C1，C2在x＝x0处都相切的直线的斜率大于3，求a的取值范围． 解析：(1)由y＝x3可得y′＝3x2，由y＝ax2＋x－2(a∈R)，可得y′＝2ax＋1， 因为曲线C1，C2在x＝1处的切线互相垂直， 所以k1·k2＝(3×12)×(2a＋1)＝－1， 解得a＝－. (2)由题意，切线的斜率k＝3x＝2ax0＋1>3， 可得3x－1＝2ax0，且x0>1或x0<－1， 所以2a＝3x0－， 令h(x)＝3x－，则函数在(1，＋∞)和(－∞，－1)上是增函数， 所以h(x)>h(1)＝2或h(x)<h(－1)＝－2， 即2a>2或2a<－2，解得a>1或a<－1. 涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．　　 即时练3. (2022·江苏苏州高二期末)已知函数f(x)＝ex－b和g(x)＝－b2，其中a，b为常数且b>0. (1)当b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若存在斜率为1的直线与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，求的最小值． 解析：(1)当b＝1时，f(x)＝ex－1， 当x＝1时，切点为， 因为f′(x)＝ex，切线斜率为f′＝e， 所以切线方程为y－＝e， 即y＝ex－1. (2)f(x)＝ex－b的定义域为R，g(x)＝－b2的定义域为， 且f′(x)＝ex，g′(x)＝， 设曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为1，则ex1＝1， 所以x1＝0，则A， 设曲线y＝g(x)在点B处的切线斜率为1，则＝1， 所以x2＝－a，则B，直线AB的斜率＝1， 所以a＝b2－b＋，由于b>0，则＝b＋－1≥2－1＝－1，当且仅当b＝，即b＝时等号成立，故的最小值为－1. 三、导数运算的综合应用 (2023·广东深圳高二期中)已知函数f(x)＝ex(sin x＋cos x＋kx)，k∈R，g(x)＝f′(x)，h(x)＝g′(x). (1)已知f(0)＝h(0)，求k的值； (2)是否存在k，使得对任意x∈R，恒有h(x)－2g(x)＋2f(x)＝0成立？说明理由． 解析：(1)因为g(x)＝f′(x)＝ex， h(x)＝g′(x)＝ex， 所以h(0)＝2＋2k，而f(0)＝1，由2＋2k＝1，解得k＝－. (2)存在．若对任意x∈R，h(x)－2g(x)＋2f(x)＝0恒成立，即ex－2ex(2cos x＋kx＋k)＋2ex(sin x＋cos x＋kx)＝0， 化简可得，kx＝0，所以k＝0时，可使得对任意x∈R，恒有h(x)－