第二章 7.2 实际问题中的最值问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

7.2　实际问题中的最值问题 [学习目标]　1.了解导数在解决实际问题中的作用．　2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题． 应用一　面积、体积最值问题 现有一张半径为2米的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1中阴影部分)，并将剩下的铁皮卷成一个深度为h米的圆锥筒(如图2)容器． (1)若所裁剪的扇形铁皮的弧长为2π米，求圆锥筒容器的容积； (2)当圆锥筒容器的深度h为多少米时，其容积最大？并求其容积的最大值． 解析：(1)设圆锥筒容器的半径为r米，容积为V立方米． 依题意得2πr＝2π×2－2π＝2π，解得r＝1，所以h＝＝. 所以V＝πr2h＝×12×＝， 故圆锥筒容器的容积为立方米． (2)由r2＋h2＝4，得r2＝4－h2(0<h<2). 所以V＝πr2h＝(0<h<2)， 所以V′＝(0<h<2). 由V′>0得，0<h<；由V′<0得，<h<2. 所以函数V在区间上单调递增；在区间上单调递减， 所以当h＝时，V(h)max＝π. 故当圆锥筒容器的深度h为米时，其容积最大，且其最大值是π立方米． 1．利用导数解决优化问题的基本思路 2．几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．　　 即时练1.我校为弘扬中华传统中医药文化，在一块边长为30 m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750 m2的矩形中药园．图中阴影部分是宽度为1 m的小路，中间三个矩形区域将种植益母草、板蓝根、苦参(其中两个小矩形区域形状、大小相同).中药种植的总面积为S m2.当S取得最大值时，x的值为(　　) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m C　[由条件可知，x·＝750⇒a＝>0，0<x≤30, S＝·a＋·a＝·a＝· ＝＝－＋， S′＝－3＋，令S′＝0，解得x＝25， 当0<x<25时，S′>0，S单调递增，25<x≤30时，S′<0，S单调递减， 所以当x＝25时，S取得最大值．故选C.] 应用二　用料最省、费用最低问题 某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长AB＝2千米，宽AD＝1千米，半圆的圆心P为AB中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧AE、线段EF，FC组成的观光道路，其中线段EF经过圆心P，点F在线段CD上(不含线段端点C，D)，已知道路AE，FC的造价为每千米20万元，道路EF造价为每千米70万元，设∠APE＝θ，观光道路的总造价为y万元． (1)试求y与θ的函数关系式y＝f(θ)，并写出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，观光道路的总造价y最小． 解析：(1)由题意可知 ∠APE＝θ，过点 F 作 FO⊥AB，垂足为 O，则∠FPB＝θ， 所以EF＝1＋，FC＝1－， y＝20＋70 ＝20θ＋90＋. (2)由(1)得y′＝20＋＝， 令y′＝＝0, 即2cos2θ＋7cosθ－4＝0，＝0， 故cos θ＝ 或cos θ＝－4(舍去)，θ＝∈， θ y′ － 0 ＋ y  极小值  所以 θ＝时，y 最小，即当 θ＝时，观光道路的总造价最小． 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关．解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．　　 即时练2.已知A，B两地的距离是130 km.根据交通法规，A，B两地之间的公路车速v(单位：km/h)应满足v∈.假设油价是7元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为 L/h，当车速为80 km/h时，汽车每小时耗油13 L，司机每小时的工资是91元． (1)求k的值； (2)如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？ 解析：(1)因为汽车以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为 L/h， 又当x＝80时，3＋＝13，解得k＝51 200. (2)若汽车的行驶速度为x km/h，则从A地到B地所需用时 h， 则这次行车的总费用f(x)＝7×＋×91＝910，x∈， 则f′(x)＝910×，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 故x＝时，该次行车总费用最低． 应用三　利润最大问题 方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x(单位：万件)，需再投入流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万件时，