第二章 7.1 实际问题中导数的意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§7　导数的应用 7．1　实际问题中导数的意义 [学习目标]　1.了解实际问题中导数的意义．　2.体会导数的实际意义，能用导数解释一些实际问题． 应用一　导数在物理学中的应用 把原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8). (1)分别计算当x从0变到1，从2变到3时，原油温度y关于时间x的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义； (2)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解析：(1)由题意得f(0)＝15，f(1)＝9. 所以当x从0变到1时，原油温度平均变化率为＝－6(℃/h). 表示从0到1这一小时内，原油温度平均每小时降低6 ℃. 又f(2)＝5，f(3)＝3， 所以当x从2变到3时，原油温度平均变化率为＝－2(℃/h). 表示从2到3这一小时内，原油温度平均每小时降低2 ℃. 又因为－6<－2，说明原油温度在开始的1小时比以后的1小时温度下降的多． (2)y′＝2x－7，当x＝2时，y′＝－3.当x＝6时，y′＝5. 在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5. 这说明x＝2 h时原油温度大约以3 ℃/h的速率下降； x＝6 h时，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升． 在物理学中： 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度． 2．功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数． 3．线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．　　 即时练1.某人拉一车前行，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)＝t3－2t＋1. (1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义； (2)求W′(1)，W′(2)，解释它们的意义． 解析：(1)当t从1 s变到3 s时， 功W从W(1)＝1－2＋1＝0(J)变到W(3)＝33－2×3＋1＝22(J)， 其平均变化率为＝＝11 (J/s)， 它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (2)因为W′(t)＝3t2－2， 所以W′(1)＝3－2＝1(J/s)， W′(2)＝3×22－2＝10(J/s)， W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为1 J和10 J． 应用二　导数在经济活动中的应用 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义． 解析：当x从10件提高到20件时， 总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元． 此时总成本的平均改变量为＝67.5(元/件)， 其表示日产量从10件提高到20件时，平均每件产品的总成本的改变量． [变式探究]　(变设问)若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本(边际成本：多生产一个单位的产品所带来的总成本的变化)，并说明其实际意义． 解析：因为C′(x)＝x＋60， 所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)， 它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元． 在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．　　 即时练2.一名工人上班后开始连续工作，生产的产品产量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝＋4. (1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f′(1)，f′(4)，解释它的意义． 解析：(1)当x从1 h变到4 h时，产量y从f(1)＝ (g)变到f(4)＝(g). 此时平均变化率为＝＝(g/h). 它表示从1 h到4 h这段时间这个人平均每小时生产 g产品． (2)f′(x)＝＋，于是f′(1)＝(g/h)，f′(4)＝(g/h)， f′(1)和f′(4)分别表示在第1小时和第4小时这个人的生产效率为 g/h和 g/h. 应用三　导数在日常生活中的应用 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(1≤x≤10)，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求f(x)的表达式； (2