第二章 6.3 第2课时 含参函数的最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　含参函数的最值 [学习目标]　1.能利用导数求简单的含参函数的最值问题．　2.能根据最值求参数的值或取值范围．　3.初步探究有关探索性的问题． 应用一　求含参数的函数的最值 (2022·山东德州高二期末)已知函数f(x)＝x3－3ax＋1. (1)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求实数a的值； (2)当x∈[－2，1]时，求函数f(x)的最大值． 解析：(1)由题意可知f′(x)＝3x2－3a， 所以f′(－1)＝0，即3－3a＝0，解得a＝1， 经检验a＝1，符合题意．所以a＝1. (2)由(1)知f′(x)＝3x2－3a， 令f′(x)＝0，x＝±， 当0<<1且a>，即<a<1时，f(x)和f′(x)随x的变化情况如下表： x －2 (－2， －) － (－， ) (，1) 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －7＋6a 单调 递增 极大 值 单调 递减 极小 值 单调 递增 2－3a f(－)＝2a＋1>2－3a，由上可知，所以f(x)的最大值为2a＋1. 当1≤<2，即1≤a<4时，f(x)和f′(x)随x的变化情况如下表： x －2 (－2，－) － (－，1) 1 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7＋6a 单调递增 极大值 单调递减 2－3a f(－)＝2a＋1，由上可知，f(x)的最大值为2a＋1. 当≥2即a≥4时，f′(x)＝3x2－3a≤0恒成立，即f(x)在[－2，1]上单调递减， 所以f(x)的最大值为f(－2)＝－7＋6a， 综上所述，当<a<4时，f(x)的最大值为2a＋1； 当a≥4时，f(x)的最大值为－7＋6a. 含参数的函数最值问题的两类情况 1．能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题． 2．对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．　　 即时练1.已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值． 解析： f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0. ③当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 所以f(x)min＝f ＝a3. 综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3； 当a＝0时，f(x)的最小值为0； 当a<0时，f(x)的最小值为a3. 应用二　由最值求参数的值或范围 (2023·江苏常熟期中)已知函数f(x)＝ln x－ax＋3(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围． 解析：(1)f′(x)＝－a(x>0)， ①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a>0时，令f′(x)>0⇒0<x<，令f′(x)<0⇒x>. 所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(1)＝3－a>0不成立； 当a>0时，f(x)的最大值为f()，有f()≤0，即－ln a＋2≤0，所以a≥e2. 综上a≥e2. 已知函数最值求参数的步骤 第一步：求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； 第二步：通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值； 第三步：结合已知求出参数，进而使问题得以解决．　　 即时练2.已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围． 解析：因为h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1， 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x)  28  －4  所以当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28， 所以如果h(x)在区间[k，2]上的最