第二章 6.3 第1课时 函数的最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

6.3　函数的最值 第1课时　函数的最值 [学习目标]　1.理解函数的最大值和最小值的概念．　2.掌握求最值的步骤，会利用导数求函数的最值． 知识点　函数的最值 　如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 1．观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ 提示：极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4). 2．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 提示：存在，f(x)max＝f(x3)，f(x)min＝f(a). 3．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 提示：不一定，也可能是区间端点的函数值． 1．最值点 (1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0). (2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不小于f(x0). 2．最值：函数的最大值和最小值统称为最值． [微提醒]　对函数最值的两点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (2) 函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件． 求下列函数在给定区间上的最大值和最小值： (1) f(x)＝x3－4x，x∈； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]. 解析：(1)因为f′(x)＝x2－4 ，令f′(x)＝x2－4＝0得x＝±2. 当x变化时，f(x)，f′(x)变化如下： x －3 (－3，－2) －2 (－2，2) 2 (2，3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 3   －  －3 所以f(x)min＝f(2)＝－，f(x)max＝f(－2)＝. (2)f′(x)＝＋cos x ，令f′(x)＝0，且x∈[0，2π]，解得x＝或x＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 2π f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0  极大值 ＋  极小值 －  π 所以当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π. 求函数最值的四个步骤 第一步：求函数的定义域； 第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0； 第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表； 第四步：求极值、端点值，确定最值． [注意]　不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．　　 即时练1.求下列函数在给定区间上的最大值和最小值： (1)F(x)＝2x3＋x2－4x＋1，x∈； (2)G(x)＝x3－，x∈. 解析：(1)因为x∈，F(x)＝2x3＋x2－4x＋1，则F′(x)＝6x2＋2x－4＝2(3x－2)，令F′(x)＝0，可得x＝－1或x＝，列表如下： x [－2，－1) －1 F′(x) ＋ 0 － 0 ＋ F(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数F(x)在x＝处取得极小值， 即F(x)极小值＝F＝－， 函数F(x)在x＝－1处取得极大值，即F(x)极大值＝F＝4， 又因为F＝－3，F＝0， 故F(x)min＝－3，F(x)max＝4， 因此，函数F(x)在上的最大值为4，最小值为－3. (2)因为x∈，G(x)＝x3－，则G′(x)＝3x2－3x＝3x， 令G′(x)＝0，可得x＝0或x＝1，列表如下： x 0 (0，1) 1 G′(x) ＋ 0 － 0 ＋ G(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数G(x)在x＝0处取得极大值， 即G(x)极大值＝G(0)＝0， 函数G(x)在x＝1处取得极小值， 即G(x)极小值＝G＝－， 又因为G＝－，G＝2， 所以，G(x)max＝2，G(x)min＝－. 故函数G(x)＝x3－在区间上的最大值为2，最小值为－. 应用一　函数的最值与函数的性质的应用 (多选)(2023·广东佛山期中)已知函数f(x)＝ex·x3，则以下结论正确的是(　　) A.函数y＝f(x)存在极大值和极小值 B.f<f<f C.函数y＝f(x)存在最小值 D.对于任意实数k，方程f(x)＝kx最多有3个实数解 BC　[f′(x)＝ex·x3＋3x2ex＝x2ex，当x＞－3时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x＜－3时，f′(x)<0，函数f(x