第二章 6.2 第2课时 含参函数的极值问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　含参函数的极值问题 [学习目标]　1.进一步理解函数的导数与极值的关系．　2.掌握函数在某一点取得极值的条件．　3.能求简单的含参函数的极值，能根据极值求参数的取值范围． 应用一　求含参函数的极值 已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)，求函数的极值． 解析：f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)， 当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值； 当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值 f(－)  极小值f()  所以f(x)的极大值为f(－)＝2a＋b，极小值为f()＝－2a＋b. 含参数的函数极值的讨论策略 1．方程f′(x)＝0无解，或有解但解不在定义域内，此时函数无极值． 2．若方程f′(x)＝0有解，可根据定义域，进行解在定义域内和解在定义域外分类讨论． 3．若f′(x)＝0有多解且均在定义域内，可根据它们对f′(x)的符号的影响进行分类讨论． 总之，讨论依据是：(1)是否有极值；(2)区分极大值与极小值．　　 即时练1.求函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)的极值． 解析：由f′(x)＝1－＝，x>0知， ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a， 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (0，a) a (a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值． 应用二　已知函数的极值求参数的值(或范围) (2023·广东佛山南海区期中)已知函数f(x)＝x3－mx(m>0). (1)当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式； (2)当f(x)的极大值不小于时，求m的取值范围． 解析：(1)因为f(x)＝x3－mx，所以f′(x)＝x2－m. 因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝1－m＝0，所以m＝1，此时f′(x)＝x2－1＝，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，即f(x)在x＝1处取得极小值，故f(x)＝x3－x. (2)f′(x)＝x2－m，令f′(x)＝0，解得x＝±. x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， x∈(－，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， x∈(，＋∞)时， f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)极大值＝f(－)＝－·m＋m·m＝m≥⇒m≥1， 即m的取值范围是[1，＋∞). 已知函数极值求参数值的两个注意点 1．根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． 2．因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　　 即时练2.(2023·四川成都期中)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx. (1)当a＝1时，若对任意x∈，f(x)≥0恒成立，求b的取值范围； (2)若b＝a2，函数f(x)在区间上存在极大值，求a的取值范围． 解析：(1)由题意，f(x)＝－x3＋x2＋bx≥0在x∈上恒成立，即b≥max， 设g(x)＝x2－x，对称轴为x＝，开口向上， 所以当x＝3时，g(x)max＝32－3＝6，则b≥6. (2)f′(x)＝－3x2＋2ax＋a2＝－，且x∈， 令f′(x)＝0，得x＝－或a. ①当a＝0时，则f′(x)＝－3x2<0，f(x)单调递减，函数f(x)没有极值； ②当a>0，x<－时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当－<x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以f(x)在x＝a处取得极大值，在x＝－取得极小值，则1<a<2； ③当a<0，x<a时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当a<x<－时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x>－时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以f(x)在x＝－处取得极大值，在x＝a处取得极小值，由1<－<2得－6<a<－3. 综上，函数f(x)在上存在极大值时，a的取值范围为∪. 应用三　函数极值的综合问题 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．