第二章 6.2 第1课时 函数的极值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

6.2　函数的极值 第1课时　函数的极值 [学习目标]　1.理解函数的极大值和极小值的概念．　2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值． 知识点一　函数极值的概念 1．观察函数y＝f(x)的图象，如图1，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？ 提示：f(x0)在(a，b)内最大．f(x)在(a，x0)上单调递增，导数大于零，在(x0，b)上单调递减，导数小于零． 2．观察图2，类比函数y＝f(x)的特点，函数y＝g(x)在区间(a，b)内，结论如何？ 提示：g(x0)在(a，b)内最小．g(x)在(a，x0)上单调递减，导数小于零，在(x0，b)上单调递增，导数大于零． 1．函数极值的概念 (1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值． (2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值． (3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 2．函数的单调性与极值 (1)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递增，在区间(x0，b)内单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递减，在区间(x0，b)内单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值． [微提醒]　(1)极值点不是点．极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点； (2)极值是函数的局部性质； (3)函数的极值不唯一．极大值与极小值两者的大小不确定； (4)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． (多选)(2023·福建泉州期中)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　) A．函数f(x)只有一个极值点 B．函数f(x)满足f<f，且在x＝－4处取得极小值 C．函数f(x)在x＝2处取得极大值 D．函数f(x)在内单调递减 AC　[由导函数的图象可得，当x<2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递减区间为，只有当x＝2时函数取得极大值，无极小值．在(－∞，－4)内，f′(x)>0，f(x)单调递增．故选 AC.] 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给出的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，如果给出的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，最后结合题目特点分析求解． 　　 即时练1.(2023·天津南开区高二期中)函数f(x)的定义域是R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 C　[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1，x2，x3，x4.由导数与函数极值的关系知，f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．故函数f(x)有两个极大值点，两个极小值点．故选C.] 知识点二　求函数极值点 你能求出函数f(x)＝x3－3x的极值点吗？并判断是极大值点还是极小值点？ 提示：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1， 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 则函数f(x)＝x3－3x的极大值点为x＝－1； 极小值点为x＝1. 求函数极值点的步骤 1．求出导数f′(x)； 2．解方程f′(x)＝0； 3．对于方程f′(x)＝0的每一个实数根x0，分析f′(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点： (1)若f′(x)在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点； (2)若f′(x)在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点； (3)若f′(x)在x0附近的符号相同，则x0不是极值点． [微提醒]　设x0是f(x)的一个极值点，并求出了f(x)的导数f′(x0)，则f′(x0)＝0.反之不一定成立．例如，对于f(x)＝x