第一章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习目标]　1.探求并掌握等差数列前n项和公式．　2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够“知三求二”．　3.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．　4.能在具体问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 知识点一　等差数列的前n项和公式 1．高斯在小学时巧妙地求出了S100＝1＋2＋3＋4＋…＋100的值，他的算法是S100＝＝101×50＝5 050. 你能利用高斯的算法计算出Sn＝1＋2＋3＋…＋n的值吗？ 提示：倒序相加法 两式相加得： 2Sn＝(1＋n)＋＋＋…＋(n＋1) ＝＝n(n＋1) 所以Sn＝. 2．对于一般的等差数列，如何利用倒序相加法求它的前n项和？其理论依据是什么？ 提示：倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 等差数列前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [微提醒]　(1)第一个公式反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和． (2)由第二个公式知，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”． (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 在等差数列{an}中． (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10； (2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12； (3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n. 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. (2)因为Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 又因为Sn＝＝210，所以n＝＝14. 等差数列中的基本计算 1．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量Sn，n，a1，an，d，这五个量可以“知三求二”． 2．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题． 3．等差数列前n项和Sn＝与等差数列性质“若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性． 4．解题时注意整体代换的思想．　　 即时练1.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S1＝S25，a3＋a8＝32，则S16＝(　　) A.80 B．160 C.176 D．198 B　[设等差数列{an}的公差为d，因为S1＝S25，a3＋a8＝32，所以a1＝25a1＋d，2a1＋9d＝32，解得a1＝25，d＝－2，则S16＝16×25＋×(－2)＝160.故选B.] 即时练2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝5，a6＝10，则(　　) A．an＝n＋1 B．an＝3n－8 C.Sn＝3n2－14n D．Sn＝n2－n BD　[设等差数列{an}的公差为d， 由 得 解得 所以an＝－5＋3(n－1)＝3n－8， Sn＝(a1＋an)＝(－5＋3n－8)＝n2－n.故选BD.] 学生用书↓第14页 知识点二　Sn与an的关系 1．等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ 提示：可以；Sn＝na1＋＝n2＋n. 2．数列{an}的前n项和为Sn，那么Sn与Sn－1(n≥2)有何关系呢？ 提示：an＝Sn－Sn－1(n≥2). 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝ [微提醒]　(1)上述关系对任何数列都适用． (2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示． 若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，则数列的通项公式采用分段形式． 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋5，求数列{an}的通项公式．并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． 解析：由Sn＝n2＋n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝7； 当n≥2时，an＝S