第一章 2.2 第2课时 等差数列的前n项和的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　等差数列的前n项和的性质 [学习目标]　1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算．　2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值． 知识点一　等差数列的前n项和的性质 1．等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列． 2．公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？ 提示：(1)若数列共有2n项，则S2n＝＝＝n(an＋an＋1)， S奇＝＝＝nan， S偶＝＝＝nan＋1. (2)若数列共有(2n＋1)项，则 S2n＋1＝＝＝(2n＋1)an＋1， S奇＝＝ ＝(n＋1)an＋1，S偶＝＝＝nan＋1. 等差数列{an}的前n项和Sn的性质 性质1：“片 段和”性质 (1)等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列 (2)数列成等差数列 性质2：“奇 偶项”性质 若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)， S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0) 在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 B　[因为等差数列有2n＋1项，所以S奇＝，S偶＝. 又a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，所以＝＝＝，所以n＝10.故选B.] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，试求S110. 解析：法一：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列， 设公差为d，前10项的和为：10×100＋d＝10，所以d＝－22， 所以前11项的和S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110. 法二：设等差数列{an}的公差为d，则＝(n－1)＋a1，所以数列成等差数列． 所以＝，即＝，所以S110＝－110. 法三：设等差数列{an}的公差为d， S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110 ＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d， 又S100－10S10＝d－d＝10－10×100，即100d＝－22，所以S110＝－110. 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1．在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． 2．等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． 3．设而不求，整体代换也是很方便的解题方法．　　 即时练1.已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　) A．30 B．29 C．28 D．27 B　[奇数项共有(n＋1)项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290，所以(n＋1)an＋1＝290. 偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261， 所以an＋1＝290－261＝29.故选B.] 即时练2.已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且其前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝(　　 ) A． B． C． D． B　[对于等差数列的前n项和满足S2n－1＝(2n－1)an，则有＝，故＝＝＝.故选B.] 学生用书↓第17页 知识点二　等差数列前n项和的函数性质与最值 等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d(d≠0)有什么样的函数特点？ 提示：由Sn＝na1＋d(d≠0)，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N＋，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn＝An2＋Bn. 等差数列前n项和的函数性质与最值 1．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d可化成关于n的函数得Sn＝n2＋n． 2．因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值． 3．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使