第一章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

章末综合提升 学生用书↓第43页 素养一　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段．本章主要借助于数列的通项公式an、前n项和Sn研究与数列有关的问题以及等差等比数列的性质的应用． 体现一　等差与等比数列的基本运算 已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn＝3an－3，等差数列{bn}中，b3＝23，b5＝19. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn； (2)定义：a*b＝记cn＝an*bn，求数列{cn}的前20项和T20. 解析：(1)由题意，当n＝1时，2S1＝3a1－3⇒a1＝3≠0. 当n≥2时2Sn＝3an－3，2Sn－1＝3an－1－3.两式相减，得2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1. 所以{an}是首项为3，公比为3的等比数列． 所以an＝3n. 设数列{bn}的公差为d， 因为b5－b3＝19－23＝－4＝2d， 所以d＝－2⇒b1＝27. 所以bn＝29－2n. (2)由an≤bn⇒3n≤29－2n⇒n≤2. 所以cn＝an*bn＝ 所以T20＝a1＋a2＋b3＋b4＋b5＋…＋b20＝3＋32＋·18＝3＋9＋·18 ＝12＋18×6＝120. 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．　　 即时练1.(多选)设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝2，a3＝8，则下列结论正确的是(　　) A．a5＝12 B．公差d＝3 C．S2n＝n(6n＋1) D．数列的前n项和为 BCD　[由题意，设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝3，故选项B正确；a5＝2＋3×(5－1)＝14，故选项A不正确；因为S2n＝2n×2＋×3＝n(6n＋1)，故选项C正确；所以an＝2＋3×(n－1)＝3n－1， 所以＝＝， 所以数列的前n项和为＋＋…＋＝×＋×＋…＋×＝×＝×＝，选项D正确．故选BCD.] 即时练2.(多选)设等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知a7＝a6＋2a5，且存在两项am，an，使得＝4a1，则下列结论正确的是(　　) A．an＋1＝2an B．Sn＝an＋1－a1 C．m＋n＝6 D．mn＝8 ABC　[设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由已知，a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以an＋1＝qan＝2an，Sn＝＝an＋1－a1.因为＝4a1，则aman＝16a，即a·2m＋n-2＝16a，所以m＋n＝6.综上故选ABC.] 体现二　等差、等比数列性质的应用 (1)已知数列{an}为等比数列，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1·a2·a3·…·an的最大值为(　　) A．5 B．512 C．1 024 D．2 048 (2)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－＝2，bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}的公差为1 B．Sn＝n2 C．bn＝ D．Tn< 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a2·a3＝2a1，所以a2a3＝a1q·a1q2＝2a1，所以a4＝2，因为a4与2a7的等差中项为，则有a4＋2a7＝2×，即a4＋2a4·q3＝2×，解得q＝，所以a1＝＝16，故an＝16×＝25-n，则a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝<1，所以数列的前4项或前5项的积最大，且最大值为16×8×4×2＝1 024.故选C. (2)设等差数列{an}的公差为d，因为－＝2，所以－＝2，解得d＝2，A错误；Sn＝n＋×2＝n2，B正确；an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝＝＝，C错误；当n＝1时，Tn＝1<，当n≥2时，bn＝<＝，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn<1＋ ＝1＋<1＋＝，可知Tn<，D正确．故选BD. 答案：(1)C　(2)BD 灵活应用等差、等比数列的性质解决问题能够简化运算，但灵活性强、对思维要求高，一定在熟练掌握公式的基础上应用，否则很容易出现错误．　　 即时练3.已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　[因为2an＝an－1＋an＋1，所以{an}是等差数列．由等差数列的性质可得a2＋a4＋a6＝3a