第一章 数列（单元测试·提升卷）数学北师大版选择性必修第二册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章数列提升通关（参考答案）》 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 5 6 B A A B B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BCD BD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2n 13.7列 14.1150 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)0)0=-2-3 25-20--3+1 2 a+a4=a1+q）=52 【详解】(1)由题意， a,+a=ag+g2=-12' 1+g23-13g2-9+1-_13 两式相除可得q1+q)3,即q 3,解得g=-3, 鼓4-22，所以a=g2:5分 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)因6=nan(-2-(3y2n-3 则5=21×3”+2x3+3x3++n-033+n3]0 所以35，=2×3'+2x32+3x3*++n-l:31+n-3]② 则②-①得：25，=2-1-3-32--31+n-3) -2x3 1-3 +2n3”=(2n-1-3”+1 所以5=2-小3+1 2.(13分) 16.(15分)(1)证明见解析 (20=3”-(-2°，b,=-(-2 o- 【详解】1)因为2=a+6an≥2，所以+2a=3a.+2am≥2到， 因为4=5,4=5，所以4+24=15， am+2a.=3n22) 由以上递推关系可知，an1+2an≠0，则an+2an1 故a+2a,是以l5为首项，3为公比的等比数列：(4分) (2)由(1)可知，0+2a。-=15×31=5x3” 因为=0.-3”，所以0，=6，+3”，则+3+2到6，+3）=5x3” 即1=-2b, 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 bL一-2 因为b=4-3=2,所以由以上递推关系可知，b,≠0，则b。 则数列6是以2为首项，2为公比的等比数列， 则6，=2x-2=-(2”,a,=3”--2；（8分) 3)由2可知，3c-叫3-4小=-2r,则5=)，则k= 设5=kk+6小.则-周2)++， 则-6+2x)++ -gj-gr目 2-3+1° 则4+k…k==6-4n写”.5分 17.(15分)()证明见解析，0=n:2 (2,=(n--2+2 【详解】1)因为4=2.4=8，所以0-24=8-2x2=4 因为0,2=4,4a,所以02-2a,1=201-2a, 火-2a=40a2N所以爱=2 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a,1-2a,是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以a一2a,=4×2=2,所以=会-1， 4=1 又2，所以2”了是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以2=1+(n-×1=n,所以a,=n2.(7分) (2)设3，=12+2-22+32++n-2 则2=1-2+222++(n-1小-2”+n-2 两大相减胸-或=2+2++2-加2子写-a2=-22, 则3=n-12+2.（15分) 18.(17分)（①，=23，neN (2)证明见解析 【详解】(1)由题意f0=2→a-1=2→a=3, 所以数列a,的前”项和为5。=3”-1 当”=1时，a=3-1=2 当n≥2时，0，=S,-S1=(3”-)-(31-)=23 当”1时，上式亦成立，所以数列a,的通项公式为，=23n∈ .(8分) (2)由(1)知0，=23 3-1 3-1 1(11 则，a,+10a+02.3+1圳2-3+1423+123+1， 所拟-A+a+6222232 11 416 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 非2 因为210，所以7<位 1 又因为1N时，工-得3单调遥期，所以新- 所以x<.17分) 1 S,=un+1) 19.(17分)(1) 2 21 n+1 Su-=1 【详解】(1)因为n+1n=2,且a=1, s. S=1 可知数列(nJ是以首项为1，公差为2的等差数列， =1+--" 则n ,所以- 2.(5分) 2)庙)可知：8-g 2, 当n≥2时，则a,=5-3=0》-=n 22 且4=引符合上式，所以8，=”， 可r8-rr后 设数列6，的前n项和为乙， 则=-引合传》-r中-+ 5/6 6学科网好课 单元速记：巧练 www.zxxk.com WWW ZXXKCOM 知识归纳梳理，测试巩固提升 所以数列么的前n项和为1+ n+1·(17分) 6 616………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 数列·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 2．设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 4．设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，＝（   ） A． B．1 C．2 D． 6．已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 7．对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2029 D． 8．已知数列满足，设，则（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列的前项和记为，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前n项和为，，，则______． 13．已知，若数列中最小项仅为第项，则___________． 14．已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等比数列的公比为整数，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列． (2)记，求数列及的通项公式； (3)设，求． 17．（15分）在数列中，，，且对任意的，都有． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 18．（17分）已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 19．（17分）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 数列·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 2．设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 4．设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，＝（   ） A． B．1 C．2 D． 6．已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 7．对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2029 D． 8．已知数列满足，设，则（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列的前项和记为，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前n项和为，，，则______． 13．已知，若数列中最小项仅为第项，则___________． 14．已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等比数列的公比为整数，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列． (2)记，求数列及的通项公式； (3)设，求． 17．（15分）在数列中，，，且对任意的，都有． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 18．（17分）已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 19．（17分）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 数列·提升通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】依题意得． 故数列的周期为3，所以． 2．设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 即，由，，成等比数列，则， 即，化简得， 由，则，即有，解得， 故. 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以成等差数列. 所以， 即. 4．设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】化简得到，分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】为等差数列， 则， 对应的二次函数为， 故当时，函数有最小值，对应的数列有最小值， 当数列有最小值时，则二次函数开口向上，所以， 故是充分必要条件． 5．已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，＝（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用数列的前项和与的关系求得和，再根据确定的值，即得. 【详解】由得： ， 两式相减整理得， 又易得, 故是首项为，公比为2的等比数列， 所以，，可知， 则，即当时，取得最小值. 因为当时，；当时，， 所以时，取最小值，此时． 6．已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式化简为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知等比数列，其公比， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 7．对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2029 D． 【答案】D 【分析】根据“优值”定义结合作差法求出，根据等差数列的前项和公式求出，代入求解即可. 【详解】由，得，① ，② ①-②得，即，， 所以． 8．已知数列满足，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把递推关系式化简得到，再计算出数列的前几项，即可得到数列是周期为6的周期数列，根据周期性计算即可. 【详解】由题知，两边同除以，整理得： ， 代入计算得 ， 因此是周期为6的周期数列， 一个周期内： ， 又，故.故是周期为3的周期数列， 选项A：，故A错误； 选项B：一个周期和为，，故B错误； 选项C：一个周期内乘积为， 故C正确； 选项D：，一个周期和为， 故 ，故D错误. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列的前项和记为，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用迭代可判断A，B，D；对于C，举例即可. 【详解】由得，故A错误； ，，，，故B正确； ，故D正确； ，取此时，故C正确. 故选：BCD 10．已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由和的关系求出数列为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用，求出，故选项C错误，由，应用等差数列求和公式计算选项D正确. 【详解】由题意，当时，，解得. 当时，， 所以，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，，故选项A错误，选项B正确； 所以，故选项C错误； ， 故选项D正确. 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C错误； 对于D，数列的前项的和为， 所以 ，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前n项和为，，，则______． 【答案】2n 【分析】根据递推公式及等差数列的概念可得，然后根据通项与前n项和的关系可得数列的通项公式． 【详解】因为，等式两边同时除以， 得，当时，， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以当时，， 当时，也符合上式， 所以． 13．已知，若数列中最小项仅为第项，则___________． 【答案】 【详解】已知是关于正整数的开口向上的二次函数， 对称轴为，开口向上的二次函数的最小值出现在距离对称轴最近的正整数位置， 又数列中最小项为第项，故，解得， 综上：. 14．已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 【答案】 【分析】分析出数列前项由的前项和的前项组成即可求解. 【详解】由题可得集合，是正奇数集，通项为， 集合，是的整数次幂集，通项为， 由于集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为， 则数列前项由的前项和的前项组成； 则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）已知等比数列的公比为整数，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据等比数列的基本量运算求出首项与公比，即得其通项公式； （2）求出数列的通项，再根据错位相减法即可求得. 【详解】（1）由题意，， 两式相除可得，即，解得， 故，所以； （2）因， 则① 所以② 则②①得： 所以. 16．(15分）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列． (2)记，求数列及的通项公式； (3)设，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出的通项公式，再利用求出为等比数列，利用等比数列的通项公式即可； （3）利用错位相减法求出. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，， 因为，所以，则， 即， 因为，所以由以上递推关系可知，，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，； （3）由（2）可知，，则，则， 设，则， 则， 则 ， 则. 17．(15分）在数列中，，，且对任意的，都有． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）先利用等比数列的定义求证数列是等比数列，再构造数列求证其为等差数列，利用等差数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以， 又，则有，所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． （2）设， 则， 两式相减得， 则. 18．(17分）已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【分析】（1）先将代入到，求得的解析式即，由验证首项后即可求得数列的通项公式； （2）使用裂项相消先将裂项为，进而可求得，因为，所以，结合数列的单调性，可得，即可得证. 【详解】（1）由题意， 所以数列的前项和为． 当时，； 当时，． 当时，上式亦成立，所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 则， 所以 . 因为，所以． 又因为时，单调递增，所以， 所以． 19．(17分）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $