第一章 培优微课3 数列求和（二）-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

一、错位相减求和 数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＝8，a3＝32，bn＝log2an. (1)求数列{bn}的通项公式，并证明数列{bn}是等差数列； (2)令cn＝，求数列的前n项和Sn. 解析：(1)设等比数列的公比为q，则q2＝＝4，q>0，所以q＝2， 所以an＝a1qn-1＝8×2n-1＝2n+2，bn＝log2an＝log22n+2＝n＋2， bn＋1－bn＝－＝1(常数)，b1＝3， 所以数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列． (2)cn＝＝＝， Sn＝＋＋＋…＋， Sn＝＋＋…＋＋， 两式相减得Sn＝＋－＝＋－＝1－， 所以Sn＝2－. 1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法． 2．用错位相减法求和时的注意点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．　　 即时练1.(2023·山东济南期末)已知数列{an}和{bn}满足anbn＋1－an＋1bn－3anan＋1＝0，an>0，且a1＝b1＝1，设cn＝. (1)求数列的通项公式； (2)若a＝anan＋2，且a2＝，求{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)因为anbn＋1－an＋1bn－3anan＋1＝0，an>0， 所以－＝3，即cn＋1－cn＝3，c1＝＝1， 所以是首项为1，公差为3的等差数列． 所以cn＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)因为a＝anan＋2，所以＝，即{an}是等比数列． 又a1＝1，a2＝，所以公比q＝，所以an＝. 由(1)知＝3n－2，所以bn＝. 所以Sn＝＋＋＋…＋， 所以Sn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得Sn＝1＋3－， 即Sn＝4－，所以Sn＝8－. 二、裂项相消求和 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足b1＋3b2＋…＋(2n－1)bn＝n(n∈N*)，记数列的前n项和为Tn，求Tn. 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由S4＝4S2，可得4a1＋6d＝4，即2a1＝d； 又因为a2n＝2an＋1，取n＝1，所以a2＝2a1＋1，即a1＋1＝d；故可得a1＝1，d＝2. 故{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由b1＋3b2＋…＋bn＝n， 当n≥2时，b1＋3b2＋…＋bn－1＝n－1， 上述两式作差可得bn＝，且b1＝1满足上式， 综上，bn＝. 所以(－1)n＝(－1)n＝(－1)n. 当n为偶数时，Tn＝－＋－＋…－＋， 所以Tn＝－1＋＝－. 当n为奇数时，Tn＝－＋－＋…－， 所以Tn＝－1－＝－. 故Tn＝ 学生用书↓第38页 1.裂项相消法的原理与规律 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的． (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 2．常见的裂项技巧 (1)＝. (2)＝(－). (3)＝. (4)＝ .　　 即时练2.(2023·湖南岳阳高二期中)已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an，a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn<. 解析：(1)由已知得，n≥2时，2Sn－1＝nan－1， 与已知条件作差得2an＝an－nan－1，所以＝， 所以an＝××…×××a1＝××…×××1＝n，n＝1成立．所以an＝n. (2)证明：因为＝＝， 所以Tn＝ ＝ ＝<×＝，所以Tn<. 三、分段数列求和 (2023·福建莆田高二期中)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2an－2，bn＝2log2an. (1)求证：数列{an}是等比数列； (2)令cn＝an＋(－1)nbn，求数列的前n项和Tn. 解析：(1)证明：数列{an}的前n项和Sn＝2an－2，n∈N*， 则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2， 所以数列{an}是以首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知，an＝2n，bn＝2log22n＝2n，cn＝2n＋(－1)nbn， 当n为偶数时，(－1)n-1bn－1＋(－1)nbn＝－bn－1＋bn＝－2(n－1)＋2n＝2， 于是得Tn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋[(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)]＝＋·2