第一章 培优微课2 数列求和（一）-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

数列的通项公式是数列求和的基础，采用什么方法求和，取决于通项公式的形式，多数数列的求和都需要一定的技巧，本节课主要讨论以下常见的求和方法． 一、分组求和 (2023·广东江门期末)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＋an＝4×3n. (1)求证：是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解析：(1)证明：因为数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＋an＝4×3n， 所以an＋1－3n+1＝－，即＝－1，又a1－31＝－2， 故数列是以－2为首项，－1为公比的等比数列． (2)由(1)可得an－3n＝×n-1＝2×n，则an＝3n＋2×n， 所以Sn＝31＋2×＋32＋2×2＋…＋3n＋2×n＝＋2＝＋2×＝＋n－. 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 1．应用条件：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式组成． 2．解题步骤 　　 即时练1.(2023·河北衡水期中)已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b3＝a1＋a2＋a3. 学生用书↓第36页 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列的前n项和Sn. 解析：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 由已知得2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28可得a3＝8.于是a2＋a4＝20. 故解得或 又数列{an}为递增数列，故所以an＝2n. 设等差数列{bn}的首项为b1＝a1＝2，公差为d. 所以b3＝2＋4＋8＝14＝2＋2d，所以d＝6，所以bn＝2＋(n－1)×6＝6n－4.所以bn＝6n－4. (2)由题得cn＝an＋bn＝2n＋6n－4， 所以数列的前n项和Sn＝＋(2＋6n－4)＝2n+1＋3n2－n－2. 二、倒序相加求和 (2023·福建三明期中)已知函数f(x)＝x2＋x，数列{an}的前n项和为Sn，点均在函数f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若函数g(x)＝，令bn＝g，求数列{bn}的前2 022项和T2 022. 解析：(1)因为点均在函数f(x)的图象上，所以Sn＝n2＋n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n； 当n＝1时，a1＝S1＝1，适合上式，所以an＝n. (2)因为g(x)＝，所以g(x)＋g＝1. 又由(1)知an＝n，所以bn＝g. 所以T2 022＝b1＋b2＋…＋b2 022＝g＋g＋…＋g，① 又T2 022＝b2 022＋b2 021＋…＋b1＝g＋g＋…＋g，② ①＋②，2T2 022＝2 022 ＝2 022， 所以T2 022＝1 011. 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和．　　 即时练2.已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f＝1，若数列{an}满足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，则数列{an}的前20项的和为(　　) A．230 B．115 C．110 D．100 B　[an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，① an＝f(1)＋f＋f＋…＋f＋f(0)，② 两式相加，得2an＝f(0)＋f(1)＋f＋f＋…＋f(1)＋f(0)，又因为f(x)＋f＝1，故2an＝n＋1，所以an＝， 所以{an}的前20项的和为S20＝a1＋a2＋…＋a20＝＋＋…＋＝20×1＋×＝115.故选B.] 即时练3.在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列{an}满足an＝(n，m∈N*)，则a1＋a2＋…＋am＋2 023＝(　　) A． B． C．m＋506 D．2m＋506 B　[依题意，记S＝a1＋a2＋…＋am＋2 023，则S＝＋＋…＋＋， 又S＝＋＋…＋＋，两式相加可得 2S＝＋＋…＋＋＝，则S＝.故选B.] 三、并项求和 已知数列{an}满足an＋2＝an＋1＋2an，a1＝1，a2＝2. (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解析：(1)证明：由题意，an＋2＋an＋1＝2(an＋1＋an)，且a1＋a2＝3， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得an＋1＋an＝3·2n-1， 当n为偶数时，Sn＝＋＋…＋＝3·20＋3·22＋…＋3·2n-2 ＝＝2n－1； 当n为奇数时， Sn＝a1＋＋＋…＋＝1＋3·21＋3·23＋…＋3·2n-2 ＝1＋＝2n－1