第一章 培优微课1 数列通项公式的求法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

数列的通项公式直接表述了数列的本质，是表示数列的一种重要方法．数列的通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列的任意一项；第二，可以通过通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题．那么如何求数列的通项公式，通常根据已知条件转化为递推式或方程组，然后求出其通项． 一、累加、累乘法求通项公式 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝n2－n＋1 (2)已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝an，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝ B．an＝2n－1 C．an＝n D．an＝ 解析：(1)因为an＋1＝an＋n，所以an＝an－1＋n－1(n≥2)，又a1＝1，利用累加法，得 an＝＋＋…＋＋a1 ＝(n－1)＋＋…＋1＋1 ＝＋1 ＝.故选C. (2)由nan＋1＝(n＋1)an，可得＝，又因为a1＝1，所以an＝·…·a1＝××…××1＝n.所以an＝n.故选C. 答案：(1)C　(2)C 累加、累乘法的应用原型 1．累加法：形如an＋1－an＝f(n)型． 2．累乘法：形如＝f(n)型．　　 即时练1.已知数列{an}满足a1＝1，an－1－an＝，则该数列的通项公式an＝________． 解析：an－1－an＝，故－＝＝－，n≥2， 则＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋1＝2－＝，故an＝， 当n＝1时验证满足，故an＝. 答案： 即时练2.已知数列{an}的首项是a1＝，且an＋1＝，则数列{an}的通项公式为________． 解析：由题意得＝，所以··…＝×××…×，所以＝，因为a1＝，所以an＝. 答案：an＝ 二、构造法求通项公式 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解析：(1)因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2， 又因为a1＝3，则a1＋1＝4，所以是首项为4，公比为2的等比数列， 所以an＋1＝4×2n-1＝2n+1，故an＝2n+1－1. (2)由(1)得an＝2n+1－1， 所以Sn＝22－1＋23－1＋…＋2n+1－1＝22＋23＋…＋2n+1－n＝－n＝2n+2－n－4. 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－4an＝2n+1，n∈N*.求{an}的通项公式． 解析：法一： 因为an＋1＝2n+1＋4an，所以an＋1＋2n+1＝4an＋2n+2＝4， 因为a1＋2＝4，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4×4n-1＝4n，即an＝4n－2n. 法二：因为an＋1＝2n+1＋4an，所以＝2·＋1， 两边再同时加1，得＋1＝2， 所以数列成等比数列，且首项为2，公比为2，则＋1＝2n，所以an＝4n－2n. 构造法的常见类型 1．当出现an＋1＝pan＋q时，若p＝1构造等差数列；若p≠1利用待定系数，即两边同时加上，构造数列成等比数列． 2．当出现an＋1＝pan＋qn时，两边同时除以qn+1后再构造等比数列．　　 即时练3.(多选)(2023·湖北鄂州期末)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A．为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D．的前n项和Tn＝3n－n AB　[因为an－3an＋1＝2an·an＋1，所以－＝2，＋1＝3，又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，所以＋1＝2×3n-1，即an＝，所以{an}为递减数列，的前n项和Tn＝(2×30－1)＋＋…＋＝2×－n＝2×－n＝3n－n－1.故选AB.] 学生用书↓第35页 即时练4.若在数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n∈N＋)，则它的通项公式为________． 解析：由题意知an>0且an≠1，将an＋1＝a两边取对数得lg an＋1＝2lg an且lg an≠0， 即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列， 所以lg an＝(lg a1)·2n-1＝lg 3，即an＝32n-1(n∈N＋). 答案：an＝32n-1 三、已知前n项和Sn与an的关系求通项公式 (2023·广东肇庆期中)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝4an，且a1＝2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：(1)证明：因为Sn＋1＝4an，所以Sn＝4an－1， 两式相减得an＋1＝4an－4an－1， 所以an＋1－2an＝2an－4an－1＝2，即bn＝2bn－1，