第一章 4 数列在日常经济生活中的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　数列在日常经济生活中的应用 [学习目标]　1.掌握单利、复利的概念和区别及它们本利和的计算公式．　2.掌握零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型的本质特点，并学会应用． 知识点一　单利与复利 在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中又是采用怎样的计息方式呢？ 提示：“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，现实生活中一般采用单利与复利两种计息方式． 1．单利与复利的计算方法 名称 计算方法 单利 仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，即利息＝本金×利率×存期 复利 一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法 2.单利与复利的计算公式 名称 计算公式 单利 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(简称本利和) S＝P(1＋nr) 复利 S＝P(1＋r)n 学生用书↓第31页 [微提醒]　复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列． 角度一　零存整取模型 李先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰. (1)欲在3年后一次支取本利和2万元，王先生每月大约存入多少元？ (2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本利和约为多少元？(精确到1元) 解析：(1)设王先生每月存入A元，则有A(1＋2.7‰)＋A(1＋2×2.7‰)＋…＋A(1＋36×2.7‰)＝20 000， 利用等差数列前n项和公式，得 A＝20 000， 解得A≈529(元). (2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入≈556(元)， 这样，3年后的本利和为 556×(1＋2.7‰)＋556×(1＋2×2.7‰)＋…＋556×(1＋36×2.7‰)＝556× ≈21 016(元). 等差数列模型解读 1．单利的计算是仅在原有本金上计算利息，而本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期，本利和＝本金×(1＋存期×利率).零存整取是等差数列求和在经济方面的应用． 2．在数列应用题中，若an＋1与an的关系满足an＋1－an＝d(d为常数)时，则可以应用等差数列模型．　　 即时练1.某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下： 存期 1年 2年 3年 5年 年利率(%) 2.25 2.4 2.73 2.88 某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%.则到期的本利和为(　　) A.10 373元 B．10 396元 C.10 422元 D．10 456元 D　[由题意知存期两年的利息与本金为10 000×(1＋2×2.4%)，利息税为10 000×2×2.4%×5%，所以到期的本利和为10 000×(1＋2×2.4%)－10 000×2×2.4%×5%＝10 456.故选D.] 角度二　定期自动转存模型 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2019年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2029年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ 解析：设从2019年年初到2029年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10). 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)， 故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝为公比的等比数列． 所以2029年年初这个家庭应取出的钱数为 S10＝＝[(1＋p)11－(1＋p)](元). 等比数列模型解读 1．复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式为：本利和＝本金×(1＋利率)n.定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用． 2．在数列应用题中，通过阅读题目题意，发现an＋1与an之间的关系满足＝q(q为常数，且q≠0)，则可以应用等比数列模型．　　 即时练2.银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________． 解析：设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r)3－1； 若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q>(1＋r)3－1，即q>[(1＋r)3－1]. 答案：[(1＋r)3