第二章 5 简单复合函数的求导法则-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

§5 简单复合函数的求导法则 　 第二章 导数及其应用 学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．　 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如y＝f(ax＋b)的导数).　 3.会解决与复合函数有关的简单问题． 课 时 精 练 知识点二　复合函数的导数 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　复合函数的概念 内 容 索 引 知识点一　复合函数的概念 索引 问题导思 海上一艘游轮发生了泄漏事故，泄出的原油在海面上形成了一个圆形的油膜，油膜的面积S(单位：m2)与油膜的半径r(单位：m)的函数关系式为S＝f(r)＝πr2.油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数关系式为r＝φ(t)＝2t＋1，你能写出油膜的面积S关于时间t的函数关系式吗？ 提示：S＝f(φ(t))＝π(2t＋1)2. 新知形成 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数_________和__________的复合函数，记作_____________，其中u为中间变量． y＝f(u) u＝φ(x) y＝f(φ(x)) 复合函数中，把函数y＝f(u)称为外层函数，把u＝φ(x)称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数． 微提醒 例1 函数y＝sin (2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是 A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1) √ y＝sin (2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.故选C. 判断复合函数的复合关系的一般方法 从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数． 　　 方法技巧 索引 即时练1.(多选)下列哪些函数是复合函数 √ √ √ 根据复合函数的定义可以选ACD. 知识点二　复合函数的导数 索引 问题导思 在知识点一的问题中，油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？与S＝f(r)＝πr2，r＝φ(t)＝2t＋1的导数有何关系？ 提示：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是S′(t)＝4π(2t＋1)，而S′(r)＝2πr，r′(t)＝2， 则[f(φ(t))]′＝S′(r)·r′(t). 新知形成 复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为 y′x＝__________＝__________，其中u＝φ(x). [f(φ(x))]′ f′(u)φ′(x) (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构． (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则． (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 微提醒 例2 求下列函数的导数： (1)y＝ecos x+1； 设y＝eu，u＝cos x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝eu(－sin x)＝－ecos x+1sin x. (2)y＝log2(2x＋1)； 设y＝log2u，u＝2x＋1， 求复合函数的导数的步骤 方法技巧 即时练2.求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋2x－1)e2-x； y′＝(x2＋2x－1)′e2-x＋(x2＋2x－1)(e2-x)′＝(2x＋2)e2-x＋(x2＋2x－1)(－e2-x)＝(－x2＋3)e2-x. 索引 综　合　应　用 索引 例3－1 复合函数的导数的应用 (2023·河南洛阳期中)已知函数f(x)＝(1＋x)eax，其中e为自然对数的底数，a∈R.若曲线y＝f(x)在x＝0处的切线与直线x＋y＋a＝0平行，则实数a的值为 A．－2 B．－1 C．1 D．2 f′(x)＝eax＋(1＋x)eax·a＝(ax＋a＋1)eax，则f′(0)＝a＋1，又直线x＋y＋a＝0的斜率为－1，故a＋1＝－1，解得a＝－2.故选A. √ 例3－2 复合函数应用问题的注意点 1．正确求导是关键． 2．涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标． 3．实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．　　 方法技巧 即时练3.求曲线y＝f(x)＝(2x－2)3在点(2，8)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积是_____． 设u＝2x－2