第二章 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率 　 第 二 章 §1 平均变化率与瞬时变化率 学习目标 1.通过实例分析，了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率与瞬时变化率的实际意义．　 2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 课 时 精 练 知识点二　瞬时变化率 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　平均变化率 内 容 索 引 知识点一　平均变化率 索引 问题导思 下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况： x/min 0 10 20 30 40 50 60 y/ ℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 提示：每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢． 新知形成 2．作用：刻画________在区间[x1，x2]上变化的快慢． x2－x1 Δx f(x2)－f(x1) Δy 函数值 平均变化率 (1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零． (2)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 微提醒 例1 已知函数f(x)＝2x2－1. (1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率； 由f(x)＝2x2－1，得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2，Δx＝2.01－2＝0.01， (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． 求函数f(x)平均变化率的三个步骤 第一步：求函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1)； 第二步：求自变量的改变量：Δx＝x2－x1； 方法技巧 索引 知识点二　瞬时变化率 索引 问题导思 新知形成 2．作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． Δx趋于0 平均变化率与瞬时变化率的关系： (1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在某一点处变化的快慢； 微提醒 例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 1．(变设问)若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 变式探究 2.(变设问)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤 第一步：求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 方法技巧 索引 即时练2.一个小球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的路程h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋3t，则在t＝3 s时球的瞬时速度为________m/s. 15 综　合　应　用 索引 例3 平均变化率与瞬时变化率的应用 有一个长方体的容器，如图所示，它的宽为10 cm，高为100 cm，右侧面为一活塞，容器中装有1 000 mL的水，活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面 x cm的位置时，水面高度为y cm. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度改变了多少？活塞位置x从8 cm变为10 cm，水面高度改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？ 所以f(1)＝100，f(2)＝50，f(2)－f(1)＝50－100＝－50(cm)，所以活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度改变了－50 cm； f(8)＝12.5，f(10)＝10，则f(10)－f(8)＝10－12.5＝－2.5(cm)； 所以活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度改变了－2.5 cm； 故而从1 cm变为2 cm，水面高度的变化较快． (3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y关于活塞位置x的瞬时变化率． 所以当x＝10 cm时，水面高度y关于活塞位置x的瞬时变化率为－1. 熟练掌握平均变化率与瞬时变化率的计算是关键，当自变量的改变量趋于零时，平均变化率即为瞬时变化率．　　 方法技巧 (1)求半径r关于体积V的函数r(V). (2)分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率(精确到0.01)，并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么规律？ 气球的体积V从0 L增加到1 L过程中半径r的平均变化率： 气球的体积V从1 L增加到2 L过程中半径r的