第二章 7.2 实际问题中的最值问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

　 第 二 章 7.2 实际问题中的最值问题 §7　导数的应用 学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用．　 2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 应用一　面积、体积最值问题 现有一张半径为2米的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1中阴影部分)，并将剩下的铁皮卷成一个深度为 h米的圆锥筒(如图2)容器． (1)若所裁剪的扇形铁皮的弧长为2π米，求圆 锥筒容器的容积； 设圆锥筒容器的半径为r米，容积为V立方米． (2)当圆锥筒容器的深度h为多少米时，其容积最大？并求其容积的最大值． 由r2＋h2＝4，得r2＝4－h2(0<h<2). 1．利用导数解决优化问题的基本思路 2．几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．　　 方法技巧 即时练1.我校为弘扬中华传统中医药文化，在一块边长为30 m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750 m2的矩形中药园．图中阴影部分是宽度为1 m的小路，中间三个矩形区域将种植益母草、板蓝根、苦参(其中两个小矩形区域形状、大小相同).中药种植的总面积为S m2.当S取得最大值时，x的值为 A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m √ 当0<x<25时，S′>0，S单调递增，25<x≤30时，S′<0，S单调递减， 所以当x＝25时，S取得最大值．故选C. 应用二　用料最省、费用最低问题 某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长AB＝2千米，宽AD＝1千米，半圆的圆心P为AB中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧AE、线段EF，FC组成的观光道路，其中线段EF经过圆心P，点F在线段CD上(不含线段端点C，D)，已知道路AE，FC的造价为每千米20万元，道路EF造价为每千米70万元，设∠APE＝θ，观光道路的总造价为y万元． 例2 (1)试求y与θ的函数关系式y＝f(θ)，并写出θ的取值范围； 由题意可知 ∠APE＝θ，过点 F 作 FO⊥AB，垂足为 O，则∠FPB＝θ， (2)当θ为何值时，观光道路的总造价y最小． 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关．解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．　　 方法技巧 (1)求k的值； (2)如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？ 例3 (1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) 因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元． (2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(注：取e3≈20) 即当x＝2时，P(x)取得最大值为P(2)＝3(万元)， 所以当9≤x<e3时，P′(x)>0，P(x)单调递增，当x>e3时，P′(x)<0，P(x)单调递减， 所以当x＝e3时，P(x)取得最大值为P(e3)＝11－ln e3－1＝7(万元)， 因为7>3，所以当x＝e3≈20时，P(x)的最大值为7万元． 所以当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元． 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．　　 方法技巧 因为当x＝5时，y＝53， (1)求a的值； 索引 (2)假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题3元(只考虑售出的套数)，试确定销售价格x，使得该网校每日销售套题所获得的利润最大． 从而f′(x)＝9(x－4) (x－6)(2<x<6). 令f′(x)＝0，得x＝4. 在区间 (2，4)上，f′(x)>0，f (x)单调递增；在区间(4，6)上，f′(x)<0，f (x)单调 递减． 所以当x＝4时，该网校每日销售套题所获得的利润最大． 索引 A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 √ √ A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 √ 4．(2023·广西桂林期中)已知一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做一个无盖方盒，当无盖方盒的容积V最大时，x的值应为 A．6 B．3 由题意可知这个无盖方盒的共顶点的三条棱长分别为：x，6－2x，6－2x， √ 显然0<x<3，因此无盖方盒的容积V＝x(6－2