第二章 7.1 实际问题中导数的意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

　 第 二 章 7.1 实际问题中导数的意义 §7　导数的应用 学习目标 1.了解实际问题中导数的意义．　 2.体会导数的实际意义，能用导数解释一些实际问题． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 应用一　导数在物理学中的应用 把原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8). (1)分别计算当x从0变到1，从2变到3时，原油温度y关于时间x的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义； 由题意得f(0)＝15，f(1)＝9. 表示从0到1这一小时内，原油温度平均每小时降低6 ℃. 又f(2)＝5，f(3)＝3， 表示从2到3这一小时内，原油温度平均每小时降低2 ℃. 又因为－6<－2，说明原油温度在开始的1小时比以后的1小时温度下降的多． (2)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． y′＝2x－7，当x＝2时，y′＝－3.当x＝6时，y′＝5. 在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5. 这说明x＝2 h时原油温度大约以3 ℃/h的速率下降； x＝6 h时，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升． 在物理学中： 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度． 2．功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数． 3．线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数． 方法技巧 即时练1.某人拉一车前行，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)＝t3－2t＋1. (1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义； 当t从1 s变到3 s时， 功W从W(1)＝1－2＋1＝0(J)变到W(3)＝33－2×3＋1＝22(J)， 它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (2)求W′(1)，W′(2)，解释它们的意义． 因为W′(t)＝3t2－2， 所以W′(1)＝3－2＝1(J/s)， W′(2)＝3×22－2＝10(J/s)， W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为1 J和10 J． 当x从10件提高到20件时， 总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元． 例2 其表示日产量从10件提高到20件时，平均每件产品的总成本的改变量． 变式探究 (变设问)若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本(边际成本：多生产一个单位的产品所带来的总成本的变化)，并说明其实际意义． 它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元． 在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．　　 方法技巧 (1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f′(1)，f′(4)，解释它的意义． 应用三　导数在日常生活中的应用 例3 (1)求f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 所以当1≤x<5时，f′(x)<0，当5<x≤10时，f′(x)>0. 所以f(x)在[1，5)上单调递减，在(5，10]上单调递增． 所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用最小，最小值为70万元． 解决实际问题的一般步骤 1．审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系． 2．建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． 3．解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解． 4．对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．　 方法技巧 (2)求f′(64)，f′(100)，并解释它们的实际意义． 索引 索引 1．在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示 A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量 C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度 f′(t)表示t时刻的降雨强度．故f′(10)表示t＝10时的降雨强度，故选A. √ 2．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4时的瞬时速度为 A．12 B．－12 C．4 D．－4 s′(t)＝－4(1－t)，所以s′(4)＝－4×(1－4)＝12.故选A. √ 3．(2023·辽宁葫芦岛期中)一个质点的运动速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足关系式v＝t7