第二章 6.3 第2课时 含参函数的最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

　 第 二 章 6.3 函数的最值 第2课时 含参函数的最值 §6　用导数研究函数的性质 学习目标 1.能利用导数求简单的含参函数的最值问题．　 2.能根据最值求参数的值或取值范围．　 3.初步探究有关探索性的问题． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 应用一　求含参数的函数的最值 由题意可知f′(x)＝3x2－3a， (1)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求实数a的值； 所以f′(－1)＝0，即3－3a＝0，解得a＝1， 经检验a＝1，符合题意．所以a＝1. (2)当x∈[－2，1]时，求函数f(x)的最大值． 由(1)知f′(x)＝3x2－3a， 所以f(x)的最大值为f(－2)＝－7＋6a， 当a≥4时，f(x)的最大值为－7＋6a. 含参数的函数最值问题的两类情况 1．能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题． 2．对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．　　 方法技巧 即时练1.已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值． ①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0. 综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3； 当a＝0时，f(x)的最小值为0； 应用二　由最值求参数的值或范围 (2023·江苏常熟期中)已知函数f(x)＝ln x－ax＋3(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； 例2 (2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围． 由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(1)＝3－a>0不成立； 已知函数最值求参数的步骤 第一步：求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； 第二步：通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值； 第三步：结合已知求出参数，进而使问题得以解决．　　 方法技巧 即时练2.已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围． 因为h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1， 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： 所以当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28， 所以如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.所以k的取值范围为(－∞，－3]. 应用三　与含参函数最值有关的探究性问题 已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1. (1)讨论f(x)的单调性； 例3 当a＝0时，f′(x)＝6x2≥0恒成立，函数f(x)在R上单调递增； 综上所述，当a＝0时，函数f(x)在R上单调递增； 存在，理由如下： (2)是否存在a，使得f(x)在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由． 由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0，1]上单调递增．则最小值为f(0)＝1，不符合题意； f(x)的最大值为f(0)＝1，最小值为f(1)＝2－a＋1＝－1，解得a＝4，满足题意； 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．　　 方法技巧 即时练3.已知f(x)＝ax－ln x，a∈R. (1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 综上，存在实数a＝e2，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3. 索引 索引 由题意得，f′(x)＝3ax2，则f′(1)＝3a＝6，解得a＝2，所以f′(x)＝6x2≥0， 故f(x)在[1，2]上单调递增，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.故选B. √ 1．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为 A．1 B．4 C．－1 D．0 2．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则