第二章 6.3 第1课时 函数的最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

6.3 函数的最值 第1课时 函数的最值 　 第 二 章 §6　用导数研究函数的性质 学习目标 1.理解函数的最大值和最小值的概念．　 2.掌握求最值的步骤，会利用导数求函数的最值． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　函数的最值 内 容 索 引 知识点　函数的最值 索引 问题导思 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 1．观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ 提示：极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4). 2．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 提示：存在，f(x)max＝f(x3)，f(x)min＝f(a). 3．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 提示：不一定，也可能是区间端点的函数值． 新知形成 1．最值点 (1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都________f(x0). (2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都________f(x0). 2．最值：函数的________和________统称为最值． 不超过 不小于 最大值 最小值 对函数最值的两点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (2) 函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件． 微提醒 例1 求下列函数在给定区间上的最大值和最小值： 因为f′(x)＝x2－4 ，令f′(x)＝x2－4＝0得x＝±2. 当x变化时，f(x)，f′(x)变化如下： 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为 f(2π)＝π. 求函数最值的四个步骤 第一步：求函数的定义域； 第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0； 第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表； 第四步：求极值、端点值，确定最值． [注意]　不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．　　 方法技巧 即时练1.求下列函数在给定区间上的最大值和最小值： 函数F(x)在x＝－1处取得极大值，即F(x)极大值＝F(－1)＝4， 又因为F(－2)＝－3，F(1)＝0， 故F(x)min＝－3，F(x)max＝4， 因此，函数F(x)在(－2，1)上的最大值为4，最小值为－3. 令G′(x)＝0，可得x＝0或x＝1，列表如下： 所以，函数G(x)在x＝0处取得极大值， 即G(x)极大值＝G(0)＝0， 函数G(x)在x＝1处取得极小值， 索引 综　合　应　用 索引 例2 应用一　函数的最值与函数的性质的应用 (多选)(2023·广东佛山期中)已知函数f(x)＝ex·x3，则以下结论正确的是 A.函数y＝f(x)存在极大值和极小值 B.f(e-2)<f(1)<f(ln π) C.函数y＝f(x)存在最小值 D.对于任意实数k，方程f(x)＝kx最多有3个实数解 √ √ 在利用导数研究函数的性质时，经常结合函数的图象，而在画函数图象时通常考虑函数的极值、最值、函数与x轴的交点等问题．　　 方法技巧 A.有最大值，无最小值 B.有最小值，无最大值 C.函数f(x)存在唯一的零点 D.函数f(x)存在唯一的极值点 √ √ x －1 0 2 4 5 f(x) 1 3 1 3 2 √ √ √ 根据导函数图象可以看出在(0，2)和(4，5)上f′(x)<0，所以f(x)在(0，2)和(4，5)上单调递减，A正确； 函数f(x)的极大值点为0与4，即极大值点的个数为2，C正确； 若方程f(x)＝a有3个不同的实数根，即y＝f(x)与y＝a有三个不同的交点，画出f(x)的图象如图所示，则实数a的取值 范围是(1，2)，D错误．故选ABC. f′(x)＝ln x(x>0)，切线的斜率为f′(e)＝ln e＝1， 应用二　利用最值证明不等式 (2022·重庆九龙坡高二期末)已知函数f(x)＝x ln x－x. (1)求f(x)在点(e，f(e))处的切线方程(其中e为自然对数的底数)； 例3 由f(e)＝eln e－e＝0得切点坐标为(e，0)，所以f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为x－y－e＝0. (2)当x>0时，证明：f(x)≥－1. 当x>0时， 令f′(x)＝ln x＝0，得x＝1，当0