第二章 6.2 第2课时 含参函数的极值问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

　 第 二 章 6.2 函数的极值 第2课时 含参函数的极值问题 §6　用导数研究函数的性质 学习目标 1.进一步理解函数的导数与极值的关系．　 2.掌握函数在某一点取得极值的条件．　 3.能求简单的含参函数的极值，能根据极值求参数的取值范围． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 应用一　求含参函数的极值 已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)，求函数的极值． f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)， 当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值； 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： 含参数的函数极值的讨论策略 1．方程f′(x)＝0无解，或有解但解不在定义域内，此时函数无极值． 2．若方程f′(x)＝0有解，可根据定义域，进行解在定义域内和解在定义域外分类讨论． 3．若f′(x)＝0有多解且均在定义域内，可根据它们对f′(x)的符号的影响进行分类讨论． 总之，讨论依据是：(1)是否有极值；(2)区分极大值与极小值．　　 方法技巧 即时练1.求函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)的极值． ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a， 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值． 应用二　已知函数的极值求参数的值(或范围) (1)当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式； 例2 即m的取值范围是[1，＋∞). 已知函数极值求参数值的两个注意点 1．根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． 2．因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　　 方法技巧 即时练2.(2023·四川成都期中)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx. 所以当x＝3时，g(x)max＝32－3＝6，则b≥6. (2)若b＝a2，函数f(x)在区间(1，2)上存在极大值，求a的取值范围． f′(x)＝－3x2＋2ax＋a2＝－(3x＋a) (x－a)，且x∈(1，2)， ①当a＝0时，则f ′(x)＝－3x2<0，f(x)单调递减，函数f(x)没有极值； 当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减． ③当a<0，x<a时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 综上，函数f(x)在(1，2)上存在极大值时，a的取值范围为(－6，－3)∪(1，2). 应用三　函数极值的综合问题 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围． 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 例3 当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0. 所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x) ＝0有三个不同实根， 所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图． 由已知应有 2＋a>0， －2＋a<0， 解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2，2). 变式探究 1．(变条件)在本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？ 由已知应有2＋a<0或－2＋a>0.即a<－2或a>2. 2．(变条件)在本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？ 由条件可知，只要2＋a＝0或－2＋a＝0即可，即a＝±2. 函数极值应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点、方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决．　　 方法技巧 即时练3.已知函数f(x)＝x3－4mx2－3m2x＋2，其中m≥0. (1)若f(x)的极小值为－16，求m的值； 由题得f′(x)＝3x2－8mx－3m2＝(x－3m)(3x＋m)，其中m≥0， 当m＝0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)无极值； 所以当x＝3m时，f(x)取得极小值f(3m)＝2－18m3， 所以2－18m3＝－16，解得m＝1. (2)讨论f(x)的零点个数． 当m＝0时，f(x)＝x3＋2，易知f(x)有一个零点． 索引 索引 √ 2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a等于 A．2 B．3