第二章 6.2 第1课时 函数的极值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

　 第 二 章 6.2 函数的极值 第1课时 函数的极值 §6　用导数研究函数的性质 学习目标 1.理解函数的极大值和极小值的概念．　 2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值． 课 时 精 练 知识点二　求函数极值点 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　函数极值的概念 内 容 索 引 知识点一　函数极值的概念 索引 问题导思 1．观察函数y＝f(x)的图象，如图1，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？ 提示：f(x0)在(a，b)内最大．f(x)在(a，x0)上单调递增，导数大于零，在(x0，b)上单调递减，导数小于零． 2．观察图2，类比函数y＝f(x)的特点，函数y＝g(x)在区间(a，b)内，结论如何？ 提示：g(x0)在(a，b)内最小．g(x)在(a，x0)上单调递减，导数小于零，在(x0，b)上单调递增，导数大于零． 新知形成 1．函数极值的概念 (1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在_______________ ______的函数值都______点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值． (2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在_______________ _____的函数值都______点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值． (3)极值：极大值与极小值统称为______，极大值点与极小值点统称为________． 任何不为x0的一 点处 小于 任何不为x0的一 点处 大于 极值 极值点 2．函数的单调性与极值 (1)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内__________，在区间(x0，b)内__________，则x0是极大值点，f(x0)是________． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内__________，在区间(x0，b)内__________，则x0是极小值点，f(x0)是________． 单调递增 单调递减 极大值 单调递减 单调递增 极小值 (1)极值点不是点．极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点； (2)极值是函数的局部性质； (3)函数的极值不唯一．极大值与极小值两者的大小不确定； (4)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 微提醒 例1 (多选)(2023·福建泉州期中)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是 A．函数f(x)只有一个极值点 B．函数f(x)满足f(－4)<f(－1)，且在x＝－4处取得极小值 C．函数f(x)在x＝2处取得极大值 D．函数f(x)在(－∞，－4)内单调递减 √ √ 由导函数的图象可得，当x<2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，只有当x＝2时函数取得极大值，无极小值．在(－∞，－4)内，f′(x)>0，f(x)单调递增．故选 AC. 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给出的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，如果给出的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，最后结合题目特点分析求解． 方法技巧 即时练1.(2023·天津南开区高二期中)函数f(x)的定义域是R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1，x2，x3，x4.由导数与函数极值的关系知，f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．故函数f(x)有两个极大值点，两个极小值点．故选C. √ 索引 知识点二　求函数极值点 索引 问题导思 你能求出函数f(x)＝x3－3x的极值点吗？并判断是极大值点还是极小值点？ 提示：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1， 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 则函数f(x)＝x3－3x的极大值点为x＝－1； 极小