第一章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

章末综合提升 　 第一章　数列 提素能　分层突破 单元检测卷 大概念　思维导图 内 容 索 引 大概念　思维导图 索引 索引 提素能　分层突破 索引 素养一　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段．本章主要借助于数列的通项公式an、前n项和Sn研究与数列有关的问题以及等差等比数列的性质的应用． 体现一　等差与等比数列的基本运算 已知数列{an}的前n项和是Sn，且2Sn＝3an－3，等差数列{bn}中，b3＝23，b5＝19. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn； 由题意，当n＝1时，2S1＝3a1－3⇒a1＝3≠0. 例1 当n≥2时2Sn＝3an－3，2Sn－1＝3an－1－3.两式相减，得2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1. 所以{an}是首项为3，公比为3的等比数列． 所以an＝3n. 设数列{bn}的公差为d， 因为b5－b3＝19－23＝－4＝2d， 所以d＝－2⇒b1＝27. 所以bn＝29－2n. 由an≤bn⇒3n≤29－2n⇒n≤2. ＝12＋18×6＝120. 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量． 方法技巧 即时练1.(多选)设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝2，a3＝8，则下列结论正确的是 A．a5＝12 B．公差d＝3 C．S2n＝n(6n＋1) √ √ √ √ √ √ 体现二　等差、等比数列性质的应用 √ 例2 √ √ 灵活应用等差、等比数列的性质解决问题能够简化运算，但灵活性强、对思维要求高，一定在熟练掌握公式的基础上应用，否则很容易出现错误． 方法技巧 即时练3.已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4＝ A．6 B．7 C．8 D．9 因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以{an}是等差数列．由等差数列的性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a4＝4，a3＝3， √ 所以a3＋a4＝3＋4＝7.故选B. 即时练4.数列{an}是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项是等比数列{bn}的第6，8，10项，则{bn}的公比是________． 将d＝5a1代入①得16a1＝b1q5，将d＝5a1代入②得36a1＝b1q7， 体现三　数列求和 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－n＝2an. (1)求{an}的通项公式； 由Sn－n＝2an得Sn＋1－(n＋1)＝2an＋1，两式相减得an＋1－1＝2an＋1－2an， 例3 即an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)，当n＝1时，S1－1＝2a1，则a1＝－1，a1－1＝－2， 所以数列{an－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列． 所以an－1＝－2n，所以an＝－2n＋1. 数列求和的常用解法 1．错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn. 2．裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列． 方法技巧 3．拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和． 4．并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数(是奇数还是偶数)的讨论．　　 方法技巧 即时练5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝2a3，S4＝2a4＋4. (1)求数列{an}的通项公式； 解得a1＝d＝2，所以an＝2n. 素养二　逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质，本章主要通过研究等差数列、等比数列这两类特殊的数列来类比一般数列的研究方法，往往把一般的数列通过变形、构造等手段转化为等差、等比