第一章 培优微课2 数列求和（一）-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优微课2 数列求和（一） 　 第一章 数列 数列的通项公式是数列求和的基础，采用什么方法求和，取决于通项公式的形式，多数数列的求和都需要一定的技巧，本节课主要讨论以下常见的求和方法． 一、分组求和 (2023·广东江门期末)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＋an＝4×3n(n∈N*). (1)求证：{an－3n}是等比数列； 例1 因为数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＋an＝4×3n(n∈N*)， 故数列{an－3n}是以－2为首项，－1为公比的等比数列． (2)求数列{an}的前n项和Sn. 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 1．应用条件：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式组成． 2．解题步骤 方法技巧 即时练1.(2023·河北衡水期中)已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b3＝a1＋a2＋a3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 由已知得2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28可得a3＝8.于是a2＋a4＝20. 设等差数列{bn}的首项为b1＝a1＝2，公差为d. 所以b3＝2＋4＋8＝14＝2＋2d，所以d＝6，所以bn＝2＋(n－1)×6＝6n－4.所以bn＝6n－4. (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn. 由题得cn＝an＋bn＝2n＋6n－4， 二、倒序相加求和 例2 (1)求数列{an}的通项公式； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n； 当n＝1时，a1＝S1＝1，适合上式，所以an＝n. ＝2 022， 所以T2 022＝1 011. 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和．　　 方法技巧 A．230 B．115 C．110 D．100 √ √ 例3 三、并项求和 已知数列{an}满足an＋2＝an＋1＋2an，a1＝1，a2＝2. (1)求证：数列(an＋1＋an)为等比数列； 由题意，an＋2＋an＋1＝2(an＋1＋an)，且a1＋a2＝3， 所以数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)求数列{an}的前n项和Sn. 由(1)可得an＋1＋an＝3·2n-1， 当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝3·20＋3·22＋…＋3·2n-2 当n为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝1＋3·21＋3·23＋…＋3·2n-2 综上，数列{an}的前n项和Sn＝2n－1. 并项求和法适用的题型 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和． 方法技巧 (1)求{an}的通项公式； 因为{an}是各项均为正数的数列，所以an＋1＋an>0，故an＋1－an＝2， 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，则an＝2n－1. (2)设bn＝(－1)nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20. bn＝(－1)nan＝(－1)n·(2n－1)，则bn＋bn＋1＝(－1)n+1·2， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b20＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b19＋b20)＝2×10＝20. 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 数 列 (2023·福建三明期中)已知函数f(x)＝x2＋x，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn) (n∈N*)均在函数f(x)的图象上． (2)若函数g(x)＝，令bn＝g(n∈N*)，求数列{bn}的前2 022项和T2 022. 又S＝＋＋…＋＋，两式相加可得 ＝＝2n－1； ＝1＋＝2n－1. 即时练4.(2023·湖南长沙期中)已知数列{an}各项均为正数，且a1＝1，a－2an＋1＝a＋2an. 因为a－2an＋1＝a＋2an，所以＝0， $$