第一章 培优微课1 数列通项公式的求法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优微课1 数列通项公式的求法 　 第一章 数列 数列的通项公式直接表述了数列的本质，是表示数列的一种重要方法．数列的通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列的任意一项；第二，可以通过通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题．那么如何求数列的通项公式，通常根据已知条件转化为递推式或方程组，然后求出其通项． 一、累加、累乘法求通项公式 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，则数列{an}的通项公式为 例1 因为an＋1＝an＋n，所以an＝an－1＋n－1(n≥2)，又a1＝1，利用累加法，得 √ an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n－1)＋(n－2)＋…＋1＋1 (2)已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an，则数列{an}的通项公式是 √ 累加、累乘法的应用原型 1．累加法：形如an＋1－an＝f(n)型． 方法技巧 二、构造法求通项公式 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； 因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)， 例2-1 又因为a1＝3，则a1＋1＝4，所以{an＋1}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以an＋1＝4×2n-1＝2n+1，故an＝2n+1－1. (2)求数列{an}的前n项和Sn. 由(1)得an＝2n+1－1， 例2-2 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－4an＝2n+1，n∈N*.求{an}的通项公式． 法一：因为an＋1＝2n+1＋4an，所以an＋1＋2n+1＝4an＋2n+2＝4(an＋2n)， 因为a1＋2＝4，故数列{an＋2n}是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4×4n-1＝4n，即an＝4n－2n. 构造法的常见类型 方法技巧 即时练3.(多选)(2023·湖北鄂州期末)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是 √ √ an＝3 2n-1 2n-1 2n-1 例3 三、已知前n项和Sn与an的关系求通项公式 (2023·广东肇庆期中)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝4an，且a1＝2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：{bn}是等比数列； 因为Sn＋1＝4an，所以Sn＝4an－1(n≥2)， 两式相减得an＋1＝4an－4an－1， 所以an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，即bn＝2bn－1(n≥2)，又S2＝4a1，a1＝2，所以a1＋a2＝4a1，所以a2＝3a1＝6，故b1＝a2－2a1＝2， 所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)求数列{an}的通项公式． 由(1)可知bn＝2×2n-1＝2n，所以an＋1－2an＝2n， 方法技巧 即时练5.(2023·河南驻马店期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an＋n－4. (1)求数列{an}的通项公式； 因为Sn＝2an＋n－4，所以Sn＋1＝2an＋1＋n－3， 又当n＝1时，a1＝2a1－3，即a1－1＝2， 所以数列{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an－1＝2n，即an＝2n＋1. 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 数 列 2．累乘法：形如＝f(n)型．　　 即时练2.已知数列{an}的首项是a1＝，且an＋1＝，则数列{an}的通项公式为___________． an＝ 1．当出现an＋1＝pan＋q时，若p＝1构造等差数列；若p≠1利用待定系数，即两边同时加上，构造数列成等比数列． 2．当出现an＋1＝pan＋qn时，两边同时除以qn+1后再构造等比数列．　　 所以lg an＝(lg a1)·2n-1＝lg 3 ，即an＝3 (n∈N＋). 即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列， 所以＝1＋(n－1)＝，则an＝(n＋1)·2n-1. 若已知条件中给出的是Sn与an的关系式，一般要利用先求出a1，若计算出的an适合a1时可合并为一个关系式，若不适合则要分段，若能判断数列是等差数列或等比数列，则直接用相应公式求解．　　 因为log2(an－1)＝n，所以数列的前n项和Tn＝. $$