第一章 3.1 第2课时 等比数列的性质及实际应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

3.1　等比数列的概念及其通项公式 第2课时　等比数列的性质及实际应用 　 第 一 章 §3　等比数列 学习目标 1.掌握等比中项的概念并会应用．　 2.熟悉等比数列的有关性质，并能利用性质简化运算．　 3.掌握等比数列的实际应用问题． 课 时 精 练 知识点二　等比数列的性质 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　等比中项 内 容 索 引 知识点一　等比中项 索引 问题导思 新知形成 (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列． (2)只有同号的两个实数才有等比中项． (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 微提醒 例1 解得X＝±1. ±1 (2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，且a，b，c均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)， 即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 等比中项应用的关注点 1．只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个． 2．已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与 an＋1的等比中项，即 ＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算量． 3．要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．　　 方法技巧 即时练1.若3与13的等差中项是4与m的等比中项，则m＝ A．12 B．16 C．8 D．20 3与13的等差中项为8，所以8是4与m的等比中项，所以82＝4m，解得m＝16.故选B. √ 即时练2.若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为 A．5 B．－5 C．±5 D．－13 设等比数列的公比为q，所以b＝(－1)·q2<0 ，根据等比中项可知b2＝(－1) ×(－25)＝25，解得b＝－5.故选B. √ 索引 知识点二　等比数列的性质 索引 问题导思 1．类比等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式与我们熟悉的哪一类函数有关？ 2．在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 提示：在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq. 新知形成 1．等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn-1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 {an}的单 调性 ______ 常数列 ______ ______ 常数列 ______ 递减 递增 递增 递减 2.等比数列的常用性质 性质1：通项公式的推广：an＝am·_______(n，m∈N＋). 性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝________． qn－m am·an 等比 例2 (1)(多选)关于递增等比数列{an}，下列说法正确的是 A.当a1>0时，q>1 B．当a1>0时，q<0 √ √ (2)若等比数列{an}中的a5，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 022＝ 因为a5，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a5a2 018＝3，又在等比数列{an}中，a1a2 022＝a2a2 021＝…＝a5a2 018＝3， 所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 022＝log3(a1a2a3…a2 021a2 022)＝ log331 011＝1 011.故选D. √ 利用等比数列的性质解题的关注点 1．判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质． 2．充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．　　 方法技巧 即时练3.(2023·河南濮阳高二开学考试)在等比数列{an}中，a2，a18是x2＋6x＋4＝0的两根，则a4·a16＋a10等于 A．6 B．2 C．2或6 D．－2 因为a2，a18是x2＋6x＋4＝0的两根， √ 所以 所以a2<0，a18<0， 索引 即时练4.已知{an}(n∈N*)为等比数列，则“a1<a2”是“{an}为递增数列”的 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.既不