2.7.2 实际问题中的最值问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

7.2　实际问题中的最值问题 　 第二章　§7　导数的应用 知识层面 1.了解导数在解决实际问题中的作用．　 2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题. 素养层面 通过在实际问题中的应用提高数学建模、数学应用素养. 课时测评 2 内容索引 随堂演练 1 应用一　面积、体积最值问题 请你设计一个包装盒．如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)． 例1 (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ 解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)， 由已知得 S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值． (2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大， 试问x应取何值？并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值． 由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20. 当x∈(0，20)时，V′>0；当x∈(20，30)时，V′<0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 规律方法 1．利用导数解决优化问题的基本思路 2．几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验． 对点练1.现有一张半径为2米的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图①中阴影部分)，并将剩下的铁皮卷成一个深度为h米的圆锥筒(如图②) 容器． (1)若所裁剪的扇形铁皮的弧长为2π米，求圆锥筒容器的容积； 解：设圆锥筒容器底面的半径为r米，容积为V立方米． (2)当圆锥筒容器的深度h为多少米时，其容积最大？并求其容积的最 大值． 解：由r2＋h2＝4，得r2＝4－h2(0<h<2)． 应用二　用料最省、费用最低问题 某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间，等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压电线塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为4x[ln(x＋0.48)－0.125]万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； 例2 (2)需要建造多少座高压电线塔，才能使余下的工程费y有最小值？最小值是多少？(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.30) 令y′＝0得x＝0.8或x＝－0.3(舍去)． 由y′<0，得0<x<0.8； 由y′>0，得0.8<x≤16， 所以函数y在区间(0，0.8)上单调递减； 在区间(0.8，16]上单调递增， 所以当x＝0.8时，函数y取得最小值， 故需建19座高压电线塔可使得余下的工程费用y有最小值，且最小值为44.72万元． 规律方法 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关．解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围． (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数解析式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80， 当0＜v＜80时，Q′＜0； 当80＜v≤100时，Q′＞0， 应用三　利润最大问题 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11 千克． (1)求a的值； 例3 解：因为当x＝5时，y＝11， (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解：由(1)可知，该商品每日的销售量为 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6. 从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)． 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f (x)  极大值42  由上表可得，x＝4是函数f (x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x＝4时，函数f (x)取得最大值，且最大值等于42. 所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 规律方法 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值． 对点练3.某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； 解：设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记一个星期的商品销售利润为f (x)，则有f (x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)， 又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6. 所以f (x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0，21]． (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)． 令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12. 当x变化时，f′(x)，f (x)的变化如下表： 因为f (0)＝9 072<f (12)＝11 664，所以x＝12时，f (x)取得最大值， 即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大． x 0 (0，2) 2 (2，12) 12 (12，21) 21 f′(x)   － 0 ＋ 0 －   f (x) 9 072  极小值  极大值  0 课堂小结 知识 1.面积、体积最值问题.2.用料最省、费用最低问题.3.利润最大问题 方法 数学建模、函数与方程思想 易错误区 题意理解不透彻，列解析式错误；求导错误，最值求错 随堂演练 返回 1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－ x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产 量为 A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 因为y＝－ x3＋81x－234，所以y′＝－x2＋81(x>0)．令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)，令y′<0，得x>9，令y′>0，得0<x<9，所以函数在(0，9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，所以当x＝9时，函数取得最大值．故选C. √ 2.(2024·山东东营高二期末)在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁．如图，已知矩形的宽为b，高为h，且梁的抗弯强度W＝ bh2，则当梁的抗弯强度W最大时，矩形的宽b的值为 √ 3．(2024·广西桂林高二期中)已知一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做一个无盖方盒，当无盖方盒的容积V最大时，x的值应为 A．6 B．3 C．1 D． √ 由题意可知这个无盖方盒的共顶点的三条棱长分别为：x，6－2x，6－2x，显然0<x<3，因此无盖方盒的容积V＝x(6－2x)(6－2x)＝4x3－24x2＋36x，所以V′＝12x2－48x＋36＝12(x－1)(x－3)，当0<x<1时，V′>0，函数单调递增，当1<x<3时，V′<0，函数单调递减，所以当x＝1时，函数V＝4x3－24x2＋36x取最大值．故选C. 4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为 x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝_____． 20 返回 课时测评 返回 1．(2024·河南南阳高二期中)在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y(单位：万元)与贷款x满足关系式y＝ln x－x－ ＋9，要使年利润最大，小李应向银行 贷款 A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，某学生准备做一个体积为16π的圆柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v的关系为w (v)＝ (18≤v≤30)，要使燃料费最低，则v＝ A．18 B．20 C．25 D．30 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，且函数解析式为y1＝20x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数，且函数解析式为y2＝2x3－x2(x>0)，要使利润最大，则该产品应生产 A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台 该产品的利润L(x)＝y1－y2＝20x2－(2x3－x2)＝－2x3＋21x2(x>0)，则L′(x)＝－6x2＋42x(x>0)，由L′(x)>0得0<x<7，L(x)单调递增；由L′(x)<0得x>7，L(x)单调递减．则当x＝7时，L(x)＝－2x3＋21x2(x>0)取得最大值．即要使利润最大，则该产品应生产7千台．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形(原始卵形)＋圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为1∶3，则该模型的体积最大值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选题)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1 000件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部 销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝ 当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有 A．年产量为9 000件 B．年产量为10 000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋ x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，则总利润最大时，产量应定为_____件． 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图 所示．如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料 最省，圆的半径应为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径AB＝20 cm，需要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到．若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH面积最大， 则菱形的边长EF＝____ cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)现有一张长为80 cm，宽为60 cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x cm，高为y cm，体积为V cm3. (1)求出y关于x的函数关系式；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求该铁皮盒体积V的最大值．(6分) 因为x∈(0，40)，V′(x)>0，V(x)是增函数； x∈(40，60)，V′(x)<0，V(x)是减函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．某地计划对旧的灌溉水渠进行加固改造，已知旧水渠的横截面是一段抛物线弧AOB(如图所示)，顶点O在水渠的最底端，渠宽AB为3 m，渠深为1 m，欲在旧水渠内填充混凝土加固，改造成横截面为等腰梯形的新水渠，且新水渠底面与地面平行(不改变渠宽)，若要使所填充的混凝土量最小，则新水渠的底宽为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选题)粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定．某粮食加工企业设计了一种容积为63 000π立方米的粮食储藏容器，如图①所示．已知该容器分上下两部分，上部分是底面半径和高都为r (r≥10)米的圆锥，下部分是底面半径为r米、高为h米的圆柱体，如图②所示．经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为 a元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是 A．10≤r<40 B．h的最大值为 C．当r＝21时，y＝7 029aπ D．当r＝30时，y有最小值，最小值为6 300aπ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超 过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________ cm3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f (x)的表达式；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：由题设，每年能源消耗费用为 而建造费用为C1(x)＝6x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)隔热层修建多厚时，总费用f (x)达到最小？并求最小值．(6分) 当0≤x<5时，f′(x)<0， 当5<x≤10时，f′(x)>0， 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下： 该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万 元)是 投入资金 甲产品利润 乙产品利润 4 1 2.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)(数学文化)(2024·江苏苏州高二期中)《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍甍”字面意思为茅草屋顶，图①是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M，已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；(6分) 解：由题意，知FH⊥平面ABCD，因为HM⊆平面ABCD，所以FH⊥HM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k (k>0)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋总高度为6 m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？(9分) 解：在Rt△FHM，FH＝5tan θ，所以下部主体高度为h＝6－5tan θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当θ变化时，f′(θ)、f(θ)的变化情况如表所示． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 导 数 及 其 应 用 返回 解：V＝a2h＝2(－x3＋30x2)， θ f′(θ) － 0 ＋ f (θ)   $$