精品解析：北京市中关村中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题

中关村中学高二年级第一学期期中练习 数学 2023.11 本试卷共6页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分基础应用 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，，如果与为共线向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和两个不同平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计､发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 100 5. 已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条直线所成的角满足（ ） A B. C. D. 6. 已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为1的正方体中，是线段上一点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点轨迹是正方形 D. 点轨迹的长度为 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数的虚部是______，复数在复平面内对应的点在第______象限 12. 若向量，，，且、、共面，则______． 13. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ______． 14. 已知在空间直角坐标系（O为坐标原点）中，点，点，则z轴与平面OAB所成的线面角大小为______. 15. 如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为． 其中所有正确结论序号是____________． 三､解答题：本大题共3小题，共40分. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，分別为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 17. 已知函数，且满足的图象过点. （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）若函数在区间上的最大值为3，求实数m的取值范围. 18. 如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值： （3）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值. 第二部分综合应用 四､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 19. 袋中装有3只黄色､2只白色的乒乓球（其体积､质地完全相同），从袋中随机摸出3个球，摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是______. 20. 声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的______倍. 21. 在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是__________． 22. 设函数 ①若，则的最小值为 ； ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ． 五､解答题：本大题共2小题，共25分. 23. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 24. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中关村中学高二年