上海市高桥中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

高桥中学2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第16题每个空格填对得4分，第7~12 题每个空格填对得5分) 1.己知复数：=1+i(其中i为虚数单位)，则=一· 2.双曲线 4一少=1的实轴长为二 3.函数y=cos2x-sin2x+1的最小正周期为 4.(2x+1)°的展开式的第8项的系数为 (结果用数值表示). 5.己知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的表面积为 6.若2x2+x-m<0的解集为(t,-l)(t<-l),则k+m的值为 7.a=(-2,),同=25，且(a+a=10,则(a,= 8.在△ABC中，C= 3,则cosA+cosB的取值范围是 9.夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目， 为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT 两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有种. I0.水平放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，初始时顶点A在坐标原点，（沿 x轴正向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继 续)设顶点4（列的轨迹方程是y=了(），则了023》 11.在空间直角坐标系O一x)中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面，比如方程 x2+y2+2=1表示球面，就是一种常见的二次曲面.已知点P(x,y,)是二次曲面 42-y+少2-：=0上的任意一点，且：均为正数，则当三取得最小值时 非副 的最大值为 12.若关于x的不等式lnx-二x2+x-1≤0恒成立，求mn的最大值 m 二、选择题（本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须 在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分，第13、14题4分，第 15、16题5分) 13.有一组样本数据：5,6,6,6,7,7,8,8,9,9则关于该组数据的下列数字特征中， 数值最大的为() A.平均数 B.第50百分位数 C.极差 D.众数 14.商函数f)=oox+po>0oe0,》在区[晋名 上恰有一个最大值和 一个最小值，则0的取值范围是( A.[2,6) c.「39 I5.已知f(x)=2x-xnx的图像上有且仅有两个不同的点关于直线y=1的对称点在直线 你+y-1=0的图像上，则实数k的取值范围是( A.(-0,1) B.[0,+∞) c.[0,) D.（-0,-1） I6.设集合2={（x,y(x-k+(0y-)=4个，k∈Z,①存在直线，使得集合2中 不存在点1在上，而存在点I的两侧：②存在直线1，使得集合2中存在无数点在/上( A.①成立②成立 B.①成立②不成立 C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤， 17.(本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分) 瀑布（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的 “三立方体合体（图2）.在棱长为2的正方体ABCD-AB'CD中建立如图3所示的空间 直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x,八，：轴均垂直该正方体的面），将该正方体分 别绕着x轴，y轴，：轴旋转45，得到三个正方体A,B.C.D.-ABn'Cm'D,',n=1,2,3 (图4,5,6)结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）. B D B D B 图1 图2 图3 图4 D D D C 0 图5 图6 1图 (1)设B(化n）,求x,2+y2+n2,n=1,2,3. (2)求点A到平面B,C,B,的距离. 18.(本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分) a心+1是奇函数. 己知函数f(x)=1og:1-x (1)求实数a的值： (2)当b>0,b∈R,解关于x的不等式f()>1bg,6 1+x 19.(本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分) 图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构 成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全 等的三角形.点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H、M,已知HM=2m,BC=2m, 能形4rE的面积是△F8C面积的4备，设∠M=-o0c0:司引 H. M B ① ② (1)求屋顶面积S关于0的函数关系式： (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部两根立柱 的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为2k,假设校门的总高度为3m,试问，当0为 何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低？ 20