5.3 第二课时 函数的最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

　 第 5 章 第二课时　函数的最值 5．3　函数的单调性 课下培优巩固练 高效导学第二步　课堂互动探究 培优关键能力 高效导学第一步　预习教材新知 落实必备知识 内 容 索 引 预习教材新知　落实必备知识 高效导学第一步 索引 f(x)≤f(x0) ymax＝f(x0) f(x)≥f(x0) ymin＝f(x0) 课堂互动探究　培优关键能力 高效导学第二步 索引 课下培优巩固练（二十四） 索引 谢 谢 观 看 ！ 第 5 章 　 函数概念与性质 1．函数的最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有__________________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为__________________． 2．函数的最小值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有__________________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为__________________． 记一记：函数的最值和值域的联系与区别 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域． (2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数f(x)＝x2对任意的x∈R都有f(x)≥－1，但是f(x)的最小值不是－1，因为－1不在f(x)的值域内； ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 【基点小试】 1．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为______，最大值为________． 解析：由图可知，图象最低点的纵坐标为－1，图象最高点的纵坐标为2，所以函数的最大值为2，最小值为－1. 答案：－1　2 2．函数f(x)＝ eq \f(2,x) ，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：函数f(x)＝ eq \f(2,x) 在[2，4]上是减函数，所以最大值为f(2)＝1，最小值为f(4)＝ eq \f(1,2) . 答案：1　 eq \f(1,2) 3．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________. 解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4. 答案：4 题型一　图象法求函数的最值(值域) 例1.已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x，0≤x≤2，,\f(2,x－1)，x>2，)) 求函数f(x)的最大值、最小值． 解：作出f(x)的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2； 当x＝ eq \f(1,2) 时，f(x)取最小值为－ eq \f(1,4) . 所以f(x)的最大值为2，最小值为－ eq \f(1,4) . [总结] 　利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． 【练一练】 1．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2) B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5). 答案：C 题型二　单调性法求函数的最值(值域) 例2.已知函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x) . (1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增； (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值． 解：(1)证明：设1≤x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2))) ＝ eq \f(（x1－x2）（x1x2－1）,x1x2) . ∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1， ∴x1x2－1>0， ∴ eq \f(（x1－x2）（x1x2－1）,x1x2) <0， 即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增， ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2， 当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝ eq \f(17,4) . 综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是 eq \f(17,4) ，最小值是2. [总结] 　1.利用