专题4-5 隔项等差与隔项等比以及和为等比-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题4-5 隔项等差与隔项等比以及和为等比 1、隔项等差数列（和为等差） 已知数列，满足，（k≠0） 则； ；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 2、隔项等比数列（积为等比） 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 3、和为等比数列（和为等比） 已知数列，满足， 则 ，再通过累加法和错位相减求出的通项公式 重点题型·归类精讲 题型一 隔项等差（和为等差） 1． 已知,求的通项公式． 【答案】； 思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列 解答过程 下结论 求通项 当为奇数： 求通项 当为偶数： 综上： 2． 已知各项均为正数的数列满足：，，求数列的通项公式. 3． 已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式． 4． 已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为(    ) A． B． C． D． 5． 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.求数列的通项 6． 数列满足，，求. 7． （多选）已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 题型二 隔项等比（积为等比） 8． 已知正项等比数列对任意的均满足，，求的通项公式； 思路点拨：根据题意：，可推出，两式作商，判断为隔项等比数列 解答过程： 下结论 求通项 当为奇数： 求通项 当为偶数： 综上： 山东省济南市二模 9． （多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 2023·广东深圳二模 10． 已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式；(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列. 题型三 和为等比 11． 已知数列中，，求数列的前n和. 思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差 变换下标，写成 累加 求通项 求和 12． （2023·重庆巴南·一模）在数列中，已知，，求的通项公式． 13． 已知数列满足，，． (1)求的通项公式． (2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围． 2023·浙江杭州·统二模 14． 设公差不为0的等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前n项和． 15． 已知数列，，，，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和； 9 / 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4-5 隔项等差与隔项等比以及和为等比 1、隔项等差数列（和为等差） 已知数列，满足，（k≠0） 则； ；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 2、隔项等比数列（积为等比） 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 3、和为等比数列（和为等比） 已知数列，满足， 则 ，再通过累加法和错位相减求出的通项公式 重点题型·归类精讲 题型一 隔项等差（和为等差） 1． 已知,求的通项公式． 【答案】； 思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列 解答过程 由，可推出，两式作差 所以是隔项等差数列： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 下结论 求通项 当为奇数：为第项： 求通项 当为偶数：为第项： 综上：无论为奇数还是偶数：. 2． 已知各项均为正数的数列满足：，. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）解：由， 当时，， ∴， 又，， ∴。 当时，， ∴为奇数时， ； 当时，， ∴为偶数时， ∴ 3． 已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式． 【答案】 由条件，可得： 两式相减得： ……7分 因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列； ……8分 偶数项是首项为1公差为4的等差数列． ……9分 综上： ……10分 4． 已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，两式相减可得数列的规律，由此可求的通项公式，从而求出其前n项和，根据通项公式的特征，采用裂项相消法即可求出结果． 【详解】∵，(*)， ∴，解得． ，∴， 两式相减，得， 数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列， 当为偶数时，． 当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知， 数列的通项公式是， 易知是以2为首项，2为公差的等差数列，