重难点9 平面向量中的二级结论及其应用（极化恒等式、奔驰定理、等和（高）弦定理、三角形四心）-2024年高考数学重难点突破

2024 高考数学重难点 重难点09 平面向量中的二级结论及其应用 重难点09 平面向量中的二级结论及其应用 极化恒等式这个概念在课本上虽然没有提及,但是由于推导的方法比较简单,在处理一类向量积的时候往往有事半功倍的效果,下面介绍一下极化恒等式的四种模型及其应用。 极化恒等式的内容 模型1极化恒等式平行四边形模式：＝ 证明：不妨设 ，则， ① ② 上面两式相减，得：＝————极化恒等式 几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 即：（平行四边形模式）A B C M 模型2极化恒等式三角形模式 在三角形ABD中（M为BD的中点），则极化恒等式可表示为： （三角形模式） 模型3极化恒等式之矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；② 证明：①连接，根据极化恒等式，可得； ②根据极化恒等式，可得 推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等． 模型4极化恒等式向量乘积型： 定理：平面内，若为定点，,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆． 证明 由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆． 极化恒等式的应用 类型1 求数量积 例1．（2024陕西省咸阳市高三下学期高考模拟检测（二））已知在边长为的菱形中，角为，若点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【对点练1】如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则_______________． 类型2 求取值范围 例2．（2024高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【对点练1】（2024贵州省名校协作体高三下学期联考（二））已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 【对点练2】（2024高三下·江西·开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 类型3 判断轨迹类型 例3．（2024山东省泰安高三下学期一轮检测）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 【对点演练】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 爪子模型的内容 已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的爪子模型． 【证明】先证充分性．若， 则，， 即，，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得， 即，，故． 综上知，结论成立． 向量的爪子模型所表达的意思就是：从一个顶点引出三个向量，且它们不共线，如下图，则等于向量分别乘以它对面的比值的和，简称对面的女孩看过来． 特殊点：当P为NM中点时，，（中线定理） 爪子模型的应用 例4（2024山西省部分学校高三下学期3月月考）已知是的边上一点，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【对点练1】（2022年全国新高考I卷）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【对点练2】如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 等和（高）线定理 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 规律方法　要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线． 等和（高）线定理的应用 例5．（2024内蒙古自治区包头市高三一模）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（    ） A． B． C． D． 【对点练1】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D